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(共30张PPT)
专题一　代数推理题
例1　(2024·合肥包河区二模)已知实数a，b满足：b＝－a＋2，－1＜2a－b＜1，则下列结论不正确的是( )
A.a＞0 B.1＜b＜
C.a－b＜0 D.
典例精析
D
【解析】∵－1＜2a－b＜1，b＝－a＋2，∴－1＜2a＋a－2＜1，解得＜a＜1，A项正确；∵b＝－a＋2，∴a＝2－b.∵＜a＜1，∴＜2－b＜1，解得1＜b＜，B项正确；∵＜a＜1，1＜b＜，∴a＜1＜b，∴a－b＜0，C项正确；∵b＝－a＋2，∴.∵＜a＜1，∴－3a＋1＜0，2a＋2＞0，∴＜0，∴，D项错误.
例2　 (2019·安徽第9题)已知三个实数a，b，c满足a－2b＋c＝0，a＋2b＋c＜0，则( )
A.b＞0，b2－ac≤0
B.b＜0，b2－ac≤0
C.b＞0，b2－ac≥0
D.b＜0，b2－ac≥0
D
【解析】解法1：由a－2b＋c＝0得2b＝a＋c.又因为a＋2b＋c＜0，所以4b＜0，b＜0.又因为b＝，所以b2－ac＝－ac＝≥0.
解法2(取特殊值)：取a＝0，得c＝2b，2b＋c＜0，则4b＜0，b＜0，排除A项、C项；b2－ac＝b2＞0，排除B项.
例3　 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值为a＋b＋c，若a－b＋c＝1，则下列结论错误的是( )
A.a＜0，b＞0 B.b2－4ac＞0
C.b2－4ac＞－4a D.＜16
D
【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为a＋b＋c，∴y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴为直线x＝1.又∵a－b＋c＝1，∴x＝－1时y＝1，由对称轴为直线x＝1知x＝3时y＝1，∴函数图象如图所示.由图象知a＜0，b＞0，b2－4ac＞0，A项、B项正确；∵顶点纵坐标大于1，∴＞1，变形为b2－4ac＞－4a，C项正确；
∵抛物线与x轴两交点间距离大于4，
∴＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(x1－x2)2＞16，D项错误.
例4　(2015·安徽第14题)已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则＝1；
②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；
④ 若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.
其中正确的是　 　.(把所有正确结论的序号都选上)
①③④
【解析】在a＋b＝ab的两边同时除以ab(ab＝c≠0)即可得＝1，故①正确；把a＝3代入得3＋b＝3b＝c，可得b＝，c＝，所以b＋c＝6，故②错误；把a＝b＝c代入得2c＝c2＝c，所以可得c＝0，故③正确；当a＝b时，由a＋b＝ab可得a＝b＝2，再代入可得c＝4，所以a＋b＋c＝8；当a＝c时，由c＝a＋b可得b＝0，再代入可得a＝b＝c＝0，这与a，b，c中只有两个数相等相矛盾，故a＝c这种情况不存在；当b＝c时，情况同a＝c，故b＝c这种情况也不存在，故④正确，所以本题正确的是①③④.
方法解读
方法1：利用(不)等式的性质解题
(1)将(不)等式进行变形，直接得到答案；
(2)选择其中一个等式变形，表示出一个未知字母，代入另外一个(不)等式求解.
方法2：利用函数的性质解题
(1)当变形为一次函数时，可先判断系数k，b的正负，再结合其他条件分析；
(2)当变形为二次函数时，可判断抛物线的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点，画出二次函数的图象，再结合其他条件分析.
方法3：利用一元二次方程根的情况解题
出现形如b2－4ac的判断，可结合题干，利用一元二次方程根的判别式解题.
方法4：利用特殊值解题
通过设题中某个未知量为特殊值，进而表示出题干中的其他未知量，使得题干的等式或不等式得到简化，得出最终答案.
方法5：利用反证法解题
假设选项中结论正确，通过运算看是否与已知条件或数学知识相矛盾，若矛盾，则为错误结论.
1.(2024·蚌埠二模)已知三个非零实数a，b，c满足a＞b＞c，且ac＜0，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.＜0
针对训练
A
2. 已知实数a，b满足3a＋2b＜2，a＋b＝2，则下列结论不正确的是( )
A.2a＋b＜0 B.b＞4 C.＜－ D.＜－
C
【解析】解法1：∵3a＋2b＜2，a＋b＝2，∴3a＋2b＜a＋b，∴2a＋b＜0，A项正确；由3a＋2b＜2，得3a＋2b＝－b＋3(a＋b)＝－b＋6＜2，∴b＞4，B项正确；由a＋b＝2，得b＝－a＋2，代入3a＋2b＜2，得a＜－2，∴a＜0，∵3a＋2b＜2，∴2b－2＜－3a，即2(b－1)＜－3a，∴＞－，C项错误；∵3a＋2b＜2，a＋b＝2，∴4a＋3b＜4，∴4a－4＜－3b，即4(a－1)＜－3b，由B项知b＞4，∴＜－，D项正确.
解法2(取特殊值)：易知3a＋2b＝－b＋3(a＋b)＝－b＋6＜2，解得b＞4，取b＝5，则a＝－3，2a＋b＝－1＜0；＝－＞－＝－＜－.只有C项错误.
3. (2023·合肥四十五中四模)已知实数a，b，c满足2a＋2b＋c＝0，2a－2b＋c＞0，则( )
A.b＞0，b2－4ac≥0 B.b＞0，b2－2ac≤0
C.b＜0，b2－4ac≤0 D.b＜0，b2－2ac≥0
D
【解析】解法1：由2a＋2b＋c＝0得2a＋c＝－2b，又∵2a－2b＋c＞0，∴－2b－2b＞0，解得b＜0，A项、B项错误；∵2a＋c＝－2b，∴b＝－a－，∴b2－2ac＝－2ac＝，∵≥0，∴b2－2ac≥0，D项正确.
解法2：2a＋2b＋c＝0　①，2a－2b＋c＞0　②，由①－②得4b＜0，即b＜0，排除A项、B项；取b＝－1，a＝1，c＝0，则b2－4ac＝1＞0，排除C项.
4. 已知三个实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，ac＋b＋1＝0(c≠1)，则( )
A.a＝1，b2－4ac＞0 B.a≠1，b2－4ac≥0
C.a＝1，b2－4ac＜0 D.a≠1，b2－4ac≤0
A
【解析】解法1：由a＋b＋c＝0，得b＝－(a＋c)，将b＝－(a＋c)代入ac＋b＋1＝0，得ac－a－c＋1＝0，∴(a－1)(c－1)＝0.∵c≠1，即c－1≠0，∴a－1＝0，∴a＝1，∴(a－c)2＞0，即a2＋c2－2ac＞0，∴a2＋c2＞2ac，∴a2＋c2＋2ac＞4ac，∵b2＝［－(a＋c)］2＝a2＋c2＋2ac，∴b2－4ac＞0.
解法2(取特殊值)：观察4个选项，取a＝1，则两式同为1＋b＋c＝0(c≠1)，显然存在实数b，c使等式成立，排除B，D选项；由1＋b＋c＝0(c≠1)，a＝1，不妨取b＝1，c＝－2，则b2－4ac＝9＞0，排除C选项.
5.已知非负实数a，b，c满足a＋2b＝4，a－b＋c＜0，则下列结论一定正确的是( )
A.b＞a＞ B.b＞c＞2 C.b＞＞a D.b2－4ac≤0
C
【解析】解法1：由a＋2b＝4得a＝4－2b.∵a－b＋c＜0，∴b－a＞c，又∵a，b，c为非负实数，∴c≥0，∴b－4＋2b＞0，解得b＞.又∵a＝4－2b≥0，∴b≤2，∴＜b≤2，易得0≤a＜，∴2≥b＞＞a，A项、B项错误，C项正确.当a＝0时，b2－4ac＞0；当a≠0时，设y＝ax2＋bx＋c.由题可知当x＝1时，a＋b＋c＞0；当x＝－1时，a－b＋c＜0，∴抛物线与x轴必有两个交点，∴b2－4ac＞0，D项错误.(或由题可知a－b＋c＜0，∴b＞a＋c＞0，∴b2＞(a＋c)2，即b2＞a2＋c2＋2ac.由(a－c)2≥0得a2＋c2≥2ac，∴b2＞4ac，即b2－4ac＞0，D项错误)
解法2(反证法)：对于A项，假设b＞a＞成立，则a＋2b＞3a＞3×＝4，与条件a＋2b＝4矛盾，A项错误；对于B项，假设b＞c＞2成立，则2b＞4，a＝4－2b＜0，与条件a为非负实数矛盾，B项错误；对于D项，假设b2－4ac≤0成立，即b2≤4ac，由a－b＋c＜0得a＋c＜b，∴(a＋c)2＜4ac，(a－c)2＜0，与平方数非负性矛盾，D项错误.
6.(2023·黄山二模)已知a，b，c满足a＋c＝b，且，则下列结论错误的是( )
A.若b＞c＞0，则a＞0 B.若c＝1，则a(a－1)＝1
C.若a2－c2＝2，则ac＝2 D.若bc＝1，则a＝1
D
【解析】∵b＞c＞0，∴b－c＞0，∵a＋c＝b，∴a＝b－c＞0，A项正确；∵c＝1，a＋c＝b，且，∴a＋1＝b，＝1，∴＝1，化简得a2－a＝1，∴a(a－1)＝1，B项正确；∵，a＋c＝b，化简得，∴a－c＝，∴a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b·＝ac＝2，C项正确；由已知得，b－c＝a，∴，即，∵bc＝1，∴a＝±1，D项错误.
7.已知实数a，b，c满足(a－b)2＝ab＝c，则下列选项正确的是( )
A.当c≠0时，＝3
B.当c＝5时，a＋b＝5
C.当a，b，c中有两个相等时，c＝0
D.二次函数y＝x2＋bx－c与一次函数y＝ax＋1的图象只有1个交点
A
【解析】当c≠0时，ab≠0，由(a－b)2＝ab，可得a2＋b2＝3ab，两边除以ab得到＝3，A项正确；当c＝5时，(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝5ab＝25，∴a＋b＝±5，B项错误；当a＝b时，可得c＝0，当a＝c时，(c－b)2＝bc＝c，若c＝0，则a＝b＝c＝0，若c≠0，则b＝1，即(c－1)2＝c，解得c＝，C项错误；由x2＋bx－c＝ax＋1，可得x2＋(b－a)x－(c＋1)＝0，∴Δ＝(b－a)2＋4(c＋1)＝(b－a)2＋4c＋4＝5(b－a)2＋4＞0，∴二次函数y＝x2＋bx－c与一次函数y＝ax＋1的图象有2个交点，D项错误.

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