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(共45张PPT)
专题五　动中觅静，以静破动
　　　　——几何图形中的最值问题
异侧两定点
【问题提出】点A，B在直线l的异侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小.
【问题解决】如图：

PA+PB的最小值为AB.
典例精析
类型 1 可转化为“两点之间，线段最短”的最值问题
模型1　两定一动
例1　如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为 　.
对比上述基本模型 动线段DE，BF的动端点E，F并不重合 平移动线段DE，BF中的任意一条，使两动端点E，F重合 回归基本模型 结合题目条件求定线段长
【解析】如图，作DM∥AC，且使得DM＝EF＝1，连接MF，则四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB.由两点之间线段最短可知，当点B，F，M共线时，FM＋FB最小且为BM长.连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BD⊥AC，△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，∠MDB＝90°，在Rt△BDM中，BM＝，∴DE＋BF的最小值为.
同侧两定点（“将军饮马”）
【问题提出】点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小.
【问题解决】如图：

PA+PB的最小值为A'B.
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例2　(2024·黑龙江大庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，M是AB边的中点，N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为( )
A.15 B.5＋5
C.10＋5 D.18
B
∵BM=5，要求△MBN'周长最小，则BN'+MN'最小，此时需要确定点N'的运动轨迹.由线段旋转90°，可构造全等三角形，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.
【解析】过点N'作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，过点M作MG⊥EF于点G，由旋转的性质得∠NMN'＝90°，MN＝MN'，∴∠AMN＝90°－∠NMG＝∠GMN'，∴△AMN≌△GMN'(AAS)，∴MG＝AM＝5，∴点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线EF上运动，作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线EF于点N'，此时△MBN'周长取得最小值，最小值为BM＋BM'，
∵BM＝AB＝5，MM'＝10，
∴BM'＝＝5，∴BM＋BM'＝5＋5.
【问题提出】P是∠AOB内一定点，M，N分别是边OA，OB上两个动点，求△PMN周长的最小值.
【问题解决】如图：

△PMN周长的最小值为线段P'P″的长.
模型2　两动一定
例3　(2024·芜湖模拟)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝4，点M，N分别在边BC，CD上，则△AMN周长的最小值为　　.
4
要使△AMN的周长最小，则思考如何让三角形的三边在同一直线上，这样就回归到基本模型，作出点A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出最短周长，再利用勾股定理，求出即可.
【解析】作点A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″交BC于点M，交CD于点N，则A'A″即为△AMN的周长最小值，作A'H⊥DA交DA的延长线于H.由题意，得AA'＝2AB＝4，AA″＝2AD＝8，∵∠DAB＝120°，∴∠HAA'＝60°，易得A'H＝2，A″H＝10，∴A'A″＝＝4，∴△AMN周长的最小值为4.
类型 2 可转化为“垂线段最短”的最值问题
模型1　一动一定
【问题提出】P是直线l外一定点，M是直线l上一动点，求PM长度的最小值.
【问题解决】如图：
例4　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB边上不与点A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是　　.
2.4
对比上述基本模型 E，F均为动点 动点E，F与定点C均为垂足 CP=EF 回归基本模型 结合题目条件求定线段长
【解析】连接CP.∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5.易证四边形CFPE是矩形，∴EF＝CP.由垂线段最短可得当CP⊥AB时，线段CP的值最小，此时CP＝＝2.4，即EF的最小值为2.4.
【问题提出】直线AB，AC相交于点A，M是平面内一定点，P，N分别是AC，AB上的动点，求MP+PN的最小值.
【问题解决】如图：

MP+PN的最小值为MN的长.
MP+PN的最小值为M'N的长.
模型2　两动一定
例5　如图，在△ABC中，BC＝8，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值为( )
A.4 B.4 C.6 D.8
B
解法2（转化CM）：作定点C关于BD的对称点E CM转化为EM 回归基本模型 结合题目条件求定线段长
解法1（转化MN）：在BA上截取BN'=BN MN转化为MN' 回归基本模型 结合题目条件求定线段长
【解析】解法1：在BA上截取BN'＝BN，易得MN'＝MN，则CM＋MN＝CM＋MN'，当C，M，N'三点共线且CN'⊥AB时，CN'最小，即CM＋MN有最小值.易得△BCN'为等腰直角三角形，
∴CN'＝BC＝4.
解法2：作点C关于BD的对称点E，由BD平分∠ABC得点E在射线BA上，连接EM，则EM＝CM，CM＋MN的最小值转化为EM＋MN的最小值，当E，M，N三点共线，且EN⊥BC时，EN长最小，即CM＋EM有最小值.由题知BE＝BC＝8，∠ABC＝45°，∴EN＝BE＝4.
模型3　一动两定(“胡不归”问题)
【问题提出】如图，A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，P为直线l上一动点，求kAP+BP（0【问题解决】方法：一找：找带有系数k的线段AP.
二构造：构造以线段AP为斜边的直角三角形：
①以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP=k；
②过动点P作垂线，构造Rt△APE.
三转化：化折为直，将kAP转化为PE.
四求解：kAP+BP=PE+BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长.
例6　如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB＋PD的最小值为　　.
3
（1）寻题眼：P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值→配模型：胡不归模型；
（2）模型作图：作辅助线，过点P作PE⊥AD于点E；
（3）解题思路：当点B，P，E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值.
【解析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E.∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin ∠EDP＝，∴EP＝PD，∴PB＋PD＝PB＋PE，∴当点B，P，E三点共线且BE⊥AD时，PB＋PE有最小值为BE长，∵sin ∠A＝，∴BE＝3.
例7　(2024·马鞍山模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D，F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为点G，连接GF，则GF＋FB的最小值
是 　.
－1
（1）寻题眼：F为边BC上的一动点，则GF+FB的最小值→配模型：胡不归模型；
（2）模型作图：由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过点F作BP的垂线FH；
（3）解题思路：易得当G，F，H共线时，GF+FB最小.
【解析】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q.由作图可知△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°，FH＝FB，∴当G，F，H在同一条直线上时，GF＋FB＝GF＋FH＝GH.∵∠AGC＝90°，OA＝OC＝OG＝AC，∴A，C，G三点共圆，圆心为O，即点G在☉O上运动，∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值.由题意，得∠P＝60°，OP＝3，
∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为－1.
1.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是边BC的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC周长的最小值为( )
A.10 B.11 C.11.5 D.13
类型1　可转化为“两点之间，线段最短”的最值问题
A
针对训练
类型 3 与圆有关的最值问题
(详见第六章微专题　构造辅助圆”)
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝14，P是边BC上一动点，当PD＋PE的值最小时，AE＝15，则BE的长为( B )
A.30 B.29 C.28 D.27
【解析】作点D关于点C的对称点F，连接CF，EF，PF，易得PD＋PE＝PF＋PE≥EF.当点P，E，F共线且EF⊥AB时，PD＋PE最小，此时AE＝15.在Rt△AEF中，可得AF＝2AE＝30，即14＋2CD＝30，得CD＝8，AC＝22.在Rt△ABC中，易得AB＝2AC＝44＝15＋BE，∴BE的长为29.
3.(2024·四川内江)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为　 　.
2
点击放大观看几何
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【解析】作点E关于直线BD的对称点F，易知点F在线段AB上，连接CF，过点F作FH⊥BC于点H.当C，P，F三点共线时，PE＋PC最小为CF长.易得BH＝BF＝1，∴FH＝，CH＝BC－BH＝7，∴CF＝＝2，∴PE＋PC的最小值为2.
类型2　 可转化为“垂线段最短”的最值问题
4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是( )
A.2 B.4
C.5 D.10
B
【解析】过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M.在Rt△ABE中，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有100＝a2＋4a2，∴a2＝20，∴a＝2或a＝－2(舍去)，∴BE＝2a＝4，易得CM＝BE＝4.∵sin ∠DBH＝，∴DH＝BD，∴CD＋BD＝CD＋DH，∴CD＋DH≥CM，∴当点C，D，H三点共线时CD＋BD有最小值为CM＝4.
5.(2024·合肥庐阳区三模)如图，AC是☉O直径，AC＝4，∠BAC＝30°，D是弦AB上的一个动点，则DB＋OD的最小值为( )
A.1＋ B.1＋
C. D.
C
【解析】过点B向左侧作BK∥CA，过点D作DE⊥BK于点E，过点O作OM⊥BK于点M，连接OB.由题意，得∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD＋BD＝OD＋DE，∴当点O，D，E三点共线时，OD＋BD的值最小为OM长，易知∠OBM＝60°，∴OM＝OB＝，
∴DB＋OD的最小值为.
6.(2024·长春)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在等边△ABC中，AB＝3，点M，N分别在边AC，BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形，
将双动点问题转化为单动点问题，
再通过定角发现这个动点的运动路径，
进而解决上述几何问题.
图1
【问题解决】如图2，过点C，M分别作MN，BC的平行线，并交于点P，作射线AP.
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
(1)证明：AM＝MP；
图2
解：∵CP∥MN，MP∥NC，
∴四边形CPMN是平行四边形，∴MP＝NC.
∵AM＝CN，∴AM＝MP.
(2)∠CAP的大小为　　，线段MN长度的最小值为 　.
提示：∵AM＝MP，∴∠CAP＝∠MPA，∵∠PMC＝∠ACB＝60°，∴∠CAP＝∠MPA＝30°.∵四边形CPMN是平行四边形，∴MN＝PC，∴当PC⊥AP时PC最小，此时PC＝AC＝，∴MN最小值是.
30°
【方法应用】(3)某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图3.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图4，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN.钢丝绳MN长度的最小值为 　 米.
图3　　 　图4
提示：如图，过M，D作ED，MN的平行线，并且交于点P，则四边形MNDP是平行四边形，∴MN＝DP，∠PMC＝∠ACB＝30°，∴∠PAM＝∠APM＝15°，∴当DP⊥AP时，DP最小.∵∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠PAD＝∠CAD＋∠PAM＝45°，在△ACD中，AD＝AC＝2，∴MN＝DP＝AD＝.

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