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专题四　折叠裁剪，破解有道
折叠与裁剪问题属于实践动手操作题，不同方式的折叠，图形之间有着不同的位置关系，图形的元素之间有不同的数量关系.常考类型：求线段长、三角函数值、比值、动线段长的最值等.折叠问题的实质是研究两个图形的轴对称，折叠前后两个图形全等，折痕是对应线段(或所在直线)夹角的角平分线，也是对应点连线的垂直平分线.在折叠过程中，我们需要关注折叠后的图形位置是否唯一，若不唯一，则需要分类讨论，画出不同情况下的图形，用数形结合解决问题.
实践 操作 基本图形 解决方法
折叠与裁剪 全等三角形　垂直平分线 角平分线　等腰三角形 勾股定理　相似三角形
三角函数　方程
典例精析
类型 1 折叠与基本图形
例1　(2024·山东济宁)综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1，在矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长)进行探究活动.
图1
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平.第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平.第三步，连接GF.
图2
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论：
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形；
乙同学的结论：tan ∠AFG＝.
(1)请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确.若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由.
（1）若要求tan ∠AFG的值，即想到构造直角三角形，当题目中未给出线段的长度时，可考虑赋值法.
【答案】甲同学和乙同学的结论都正确.证明如下：
甲同学：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°.
由折叠可知∠D＝∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形.
又∵AD＝AE，∴四边形AEFD是正方形.
乙同学：过点G作GK⊥AF于点K.
设AE＝2a，则AG＝EG＝a.
∵四边形AEFD是正方形，
∴易得AF＝2a，AK＝KG＝AG＝a，
∴FK＝AF－AK＝a，∴tan ∠AFG＝.
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作.
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平.第五步，连接FM交GP于点N.
图3
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN·AM＝GN·AD.
(2)请证明这个结论.
（2）根据折叠可知四边形FGMP是　 　，可得△GFN为直角三角形，易证△GFN∽△PGH得到FN·PH=GN·GH，再利用等线段转化即可得证；本题直接对线段进行赋值也可得证.
菱形
解法1：由折叠可知FP＝PM，FG＝GM，GH＝AD，
∠FPG＝∠MPG.
∵AB∥CD，∴∠FPG＝∠PGM，∴∠PGM＝∠MPG，
∴PM＝GM，∴FP＝PM＝GM＝FG，
∴四边形FGMP是菱形，∴∠FNG＝90°，
易证△GFN∽△PGH，
∴，∴FN·PH＝GN·GH.
∵AM＝AG＋GM＝HF＋FP＝PH，
∴FN·AM＝GN·AD.
解法2：设AD＝AE＝EF＝2，∴AG＝GE＝1，∴GF＝.
易证四边形FGMP是菱形，
∴GM＝FG＝，FM⊥GP，FN＝FM，∴AM＝＋1，EM＝－1.
在Rt△FEM中，FM2＝EF2＋EM2＝10－2，∴FN2＝FM2＝.
在Rt△FGN中，GN2＝FG2－FN2＝，
∴FN2·AM2＝×(＋1)2＝10＋2，
GN2·AD2＝×4＝10＋2，
∴FN2·AM2＝GN2·AD2，即FN·AM＝GN·AD.
提分练1　如图，将矩形ABCD折叠，使得顶点A与顶点C重合，折痕交AD于点E，连接EC交对角线BD于点F.若EF＝2，OF＝3，则EC的长为 　.
＋3
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，由翻折可知EA＝EC，∠OAD＝∠ECA，∴∠ODA＝∠ECA.∵∠DFE＝∠CFO，∴△EFD∽△OFC，∴.设EC＝x， 则CF＝x－2，∴DF＝(x－2)，∴OB＝OD＝OF＋DF＝3＋(x－2)，∴BF＝6＋(x－2).∵AD∥BC，∴△EFD∽△CFB，∴，即DF·CF＝BF·EF，∴(x－2)2＝12＋(x－2)，解得x＝＋3(负值舍去)，则EC的长为＋3.
5个与矩形折叠相关的图形结构
图形结构 常见结论
将矩形ABCD的顶点C沿着直线BE折叠到边AD上，设AB=a，BC=b （1）BC'=BC=b，AC'=
（2）△ABC'∽△DC'E，即==
图形结构 常见结论
将矩形ABCD的顶点B沿着直线AE折叠到对角线AC上，点B的对应点为点F，设AB=a，BC=b，BE=x （1）AF=AB=a，CE=b-x，CF=AC-AB=-a
（2）EF⊥AC
（3）△CEF∽△CAB
（4）在Rt△CFE中，CE2=EF2+CF2，即（b-x）2=x2+（-a）2
将矩形ABCD的顶点B，C分别沿着直线AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点F，设CE=a，CG=b （1）A，F，E三点共线
（2）BG=FG=CG，即G为BC的中点
（3）△ABG∽△GCE∽△AGE
（4）∠AGE=90°，AG2+GE2=AE2
（5）GF⊥AE，△AFG∽△GFE∽△AGE
（6）AE可用含a，b的式子表示为
图形结构 常见结论
将矩形ABCD先上下对折后再打开，得到折痕EF，再将顶点A折叠到折痕EF上 （1）△ABG为等边三角形
（2）∠CBG=30°
（3）=
将矩形ABCD的顶点C，D沿直线EF折叠，使点C与点A重合，点D的对应点为点D' （1）DD'∥AC
（2）四边形AECF是菱形
（3）△ABE≌△AD'F
类型 2 折叠中的最值问题
例2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在AC边上，且CF＝2，E为BC边上的动点.将△CEF沿直线EF翻折，
点C落在点P处，则点P到AB边距离的最小值是　　.
1.2
解法1：利用三角形的三边关系：过点F作FM⊥AB于点M，过点P作PN⊥AB于点N，连接FN.由题意知P为动点，FP，FM为定长，∴利用△PFN，△FMN建立三边关系即可求解.
解法2：过点F作FM⊥AB于点M，由题意知F为定点，FP为定长，则点P在以点F为圆心，FP长为半径的圆上，易得当点P在FM上时，得最小值.
【解析】解法1：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，过点P作PN⊥AB于点N，连接FN.由翻折可知PF＝CF＝2.∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，∴AF＝4，AB＝＝10，易得△AMF∽△ACB，∴，即，解得FM＝3.2，∵PF＋PN≥FN≥FM，即PN≥FM－PF，
∴当点P在FM上时，PN取最小值，为1.2，
即点P到AB边距离的最小值是1.2.
图1　
解法2(隐形圆)：如图2，过点F作FM⊥AB于点M.易得FM＝3.2，由翻折可知PF＝CF＝2，∴点P在以点F为圆心，FP长为半径的圆上，∴当点P在FM上时，点P到AB边距离的最小值是1.2.
图2
“定点定长”型隐形圆详见第六章“微专题　构造辅助圆”.
提分练2　如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，G是边AD上的点，AG＝2，H是边BC上一点.将纸片沿GH折叠，点A，B的对应点分别为点E，F，则CF长的最小值为　 　.
4
存在定点、动点 是否存在定长 是否存在隐形圆.
【解析】如图，连接GF，GB，GC，由翻折的性质可得△AGB≌△EGF，∴GB＝GF.∵AB＝4，AG＝2，∴DG＝4，GB＝BF＝2，∴GC＝4，点F在以点G为圆心，GB长为半径的圆上，当G，F，C三点共线时，CF的长最小，此时CF＝CG－GF＝4－2，即CF的最小值为4－2.
类型 3 裁剪与特殊图形
例3　(2024·四川巴中)综合与实践
(1)【操作与发现】平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1，图2.在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F是AD，BC边上的点.经过剪拼，四边形GHJK为矩形，则△EDK≌　 　.
图1　　 　图2
△EAG
(2)【探究与证明】探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3，图4，图5.在图5中，E，F，G，H是四边形ABCD边上的点，OJKL是拼接之后形成的四边形.
(ⅰ)通过操作得出：AE与EB的比值为　　；
图3　　　 图4
图5　　　
1
（2）（ⅱ）剪、拼的实质是全等.本题要证明四边形OJKL为平行四边形，首先要证明四边形各边上的点共线，再证明两组对边分别平行即可.
(ⅱ)求证：四边形OJKL为平行四边形.
【答案】如图1，由题意得∠HAE＋∠QAE＋∠PAQ＋∠PAH＝∠DAB＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠KPA＋∠JPA＝∠CGO＋∠DGO＝180°，∴K，P，J三点共线.
同理K，Q，L三点共线，L，E，O三点共线，J，H，O三点共线.
易得∠2＝∠L，∠3＝∠J.
∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，
∴∠1＋∠L＝180°，∠1＋∠J＝180°，
∴OJ∥KL，OL∥KJ，∴四边形OJKL为平行四边形.
图1
(3)【实践与应用】任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程.若不能，请说明理由.
图6
（3）由第（2）问引发思考要将平行四边形变成矩形，可令对角线相等或添加直角，对本题可言，可操作的是添加直角，作垂线段即可.
【答案】如图2，取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接FH，过点E，G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBFM绕点E逆时针旋转180°得到四边形EAF'M'，将四边形HDGN绕点H顺时针旋转180°得到四边形HAG'N'，将四边形NGCF向左上方移动得到四边形N″G'AF'，则四边形MM'N″N'即为所求矩形.
图2
提分练3　(2023·湖北十堰) 在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC(∠A＝90°)硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点)，小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠，不留空隙)，则所能拼成的四边形中周长的最小值为　　，最大值为　 　.
8
8＋2
【解析】如图1(拼成平行四边形)，∵BC＝4，
∴AC＝BC＝2，
∴CI＝BD＝CE＝AC＝，DI＝BC＝4，
∴四边形BCID的周长为4＋4＋2＝8＋2；
图1　
如图2(拼成正方形)，AF＝AI＝IC＝FC＝2，
∴四边形AFCI的周长为2×4＝8；
如图3(拼成矩形)，MN＝IJ＝BC＝4，NI＝MJ＝1，
∴四边形NIJM的周长为4＋4＋1＋1＝10，
则所能拼成的四边形中周长的最小值为8，
最大值为8＋2.
图2
图3
提分练4　如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，
则CD＝　 　.
4＋2
【解析】分两种情况：①如图1，作AN∥BC，交CD于点N，交BD于点E，过点B作BT⊥EC于点T，此时四边形ABCE为平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形.∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，BC∥AN，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，∠NAD＝∠ECN＝60°，∴∠AND＝90°.∵四边形ABCE的面积为2，设BT＝x，
∴BC＝EC＝2x，故2x2＝2，解得x＝1(负值舍去)，
∴AE＝EC＝2，EN＝，∴AN＝2＋，
∴AD＝CD＝4＋2；
图1
②如图2，作BE∥AD，交CD于点E，作BF∥CD交AD于点F，易得四边形BEDF是菱形，∴∠BEC＝∠ADC＝30°，BE＝DE.设BC＝y，则BE＝DE＝2y，CE＝y.∵四边形BEDF的面积为2，∴DE·BC＝2y2＝2，解得y＝1(负值舍去)，∴CE＝，DE＝2，
∴CD＝2＋.综上所述，
CD的值为4＋2或2＋.
图2
针对训练
A.纸带①②的边线都平行
B.纸带①②的边线都不平行
C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
类型1　折叠与基本图形
1.(2024·黑龙江大庆)如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一条直线上，点E，H，F也在同一条直线上.下列判断正确的是( )
D
【解析】纸带①中，如图，由题知∠ADB＝∠1＝59°，∴∠DBA＝180°－∠ADB－∠2＝62°，由翻折的性质得∠ABC＝∠DBA＝62°，∴∠DBE＝180°－∠ABC－∠DBA＝56°，∴∠1≠∠DBE，∴AD与EB不平行.纸带②中，由翻折的性质得∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG，∵∠CGH＋∠DGH＝180°，∠EHG＋∠FHG＝180°，∴∠CGH＝∠DGH＝90°，∠EHG＝∠FHG＝90°，
∴∠CGH＋∠EHG＝180°，∴CD∥EF.
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶3 D.3∶5
图1　　　图2
2.如图1，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，且点E在BC上，DE∥AB.将△DEC沿DE折叠，点C恰好落在线段AB上，如图2所示.若CE＝2，DE＝4，则图2的BC与AC的长度比为( )
B
【解析】∵AD∥BE，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE＝AB＝4＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝∠B.∵∠BEC＝180°－2∠DEC，∠CDE＝180°－∠DCE－∠DEC，∴∠BEC＝∠CDE，∴△BCE∽△ECD，∴，即，∴BC＝1，∴AC＝AB－BC＝3，∴.
A.8 cm B. cm
C. cm D. cm
图1　 　　图2
3.(2024·黑龙江牡丹江)小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12 cm，CD＝10 cm，他进行了如下操作：
第一步，如图1，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平.
第二步，如图2，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点E，则线段EN的长为( )
B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10 cm.由折叠可知AM＝AB＝5 cm，MN∥AD，MN＝AD＝12 cm，AD＝AD'＝12 cm，∠DAN＝∠D'AN，∴∠DAN＝∠ANM＝∠D'AN，∴EA＝EN.设EA＝EN＝x cm，则EM＝(12－x) cm.在Rt△AME中，根据勾股定理，得AM2＋ME2＝AE2，即52＋(12－x)2＝x2，解得x＝，即EN＝ cm.
4.(2024·合肥蜀山区二模)如图，O是矩形ABCD对角线BD的中点，按如图所示的方式折叠，使边AB落在BD上，边CD也落在BD上，A，C两点恰好重合于点O，连接EC，交BD于点G，交DF于点H.
(1)∠AEB的度数为　　°；
(2)的值为 　.
60
【解析】(1)由题意，得AB＝OB＝OD＝CD，∠ABE＝∠OBE，∴AB＝BD，∴∠ADB＝30°，∠ABO＝60°，∴∠ABE＝∠OBE＝30°，∴∠AEB＝90°－∠ABE＝60°.
(2)由(1)可知四边形BEDF为菱形，∠ABE＝30°，设AE＝a，∴BE＝2a，AB＝a，∴CD＝a，DE＝BF＝2a，∴BC＝3a，EC＝a.∵AD∥BC，∴△EHD∽△CHF，∴＝2，∴EH＝a，CH＝a，同理△EGD∽△CGB，∴，∴EG＝a，∴GH＝EH－EG＝a，∴.
5.(2024·湖北)在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将四边形ABCD沿EF翻折，使点A的对称点P落在边CD上，点B的对称点为点G，PG交BC于点H.
(1)如图1，求证：△EDP∽△PCH.
图1
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DPE＋∠DEP＝90°.
由翻折可知∠EPH＝∠A＝90°，∴∠DPE＋∠CPH＝90°，
∴∠DEP＝∠CPH，∴△EDP∽△PCH.
(2)如图2，若P为CD的中点，AB＝2，BC＝3时，求GH的长.
图2
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴PG＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°.
∵P为CD的中点，∴DP＝CP＝1.
设EP＝AE＝x，则ED＝3－x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2＋DP2，即x2＝(3－x)2＋1，解得x＝，
∴ED＝3－x＝.
由(1)知△EDP∽△PCH，∴，得PH＝，
∴GH＝PG－PH＝.
解：AB＝BG.理由：延长AB，PG交于点M，连接AP.
由翻折可知，AP⊥EF，BG⊥直线EF，∴BG∥AP.
∵AE＝EP，∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴MA＝MP，∴△MAP是等腰三角形.
∵P为CD的中点，设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y.
∵H为BC的中点，∴BH＝CH，
(3)如图3，连接BG，若P，H分别为CD，BC的中点，探究BG与AB之间的数量关系，并说明理由.
图3
易证△MBH≌△PCH(ASA)，∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB＋AB＝3y，∴HP＝PM＝y.
在Rt△PCH中，CH＝y，
∴BC＝2CH＝AD＝y，
在Rt△APD中，AP＝y.
∵BG∥AP，∴△MBG∽△MAP，∴，
∴BG＝y，∴，即AB＝BG.
类型2　折叠中的最值问题
6.如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一点.将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'B，则A'B的取值范围为　 　.
4－4≤A'B≤8
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【解析】如图，连接BM，BD.∵M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折到△A'MN，∴点A'的轨迹为以AD长为直径的半圆M，A'M＝AM＝4，∵∠A＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴BM⊥AD，∠ABM＝30°，∴BM＝4，当M，A'，B三点共线时，A'B最小，此时A'B＝4－4；当点A'与点D重合时，A'B最大，此时A'B＝8，∴A'B的取值范围为4－4≤A'B≤8.
7.(2024·四川德阳)一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4(单位：dm)的正方形纸片ABCD，他在边AB和AD上分别取点E和点M，使AE＝BE，AM＝1，又在线段MD上任取一点N(点N可与端点重合)，再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA1，小王同学通过多次实践得到以下结论：①当点N在线段MD上运动时，点A1在以点E为圆心的圆弧上运动；②当DA1达到最大值时，点A1到直线AD的距离达到最大；③DA1的最小值为2－2；④当DA1达到最小值时，MN＝5－.你认为小王同学得到的正确结论的个数是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由题意，得AE＝BE＝AB＝2.由折叠的性质可知A1E＝AE＝2，∴当点N在线段MD上运动时，点A1在以点E为圆心的圆弧上运动，故①正确；连接DE，则DE＝＝2，∵DA1＋A1E≥DE，即DA1≥DE－A1E＝2－2，∴当D，A1，E三点共线时，DA1的最小值为2－2，故③正确；当DA1达到最小值时，点A1在线段DE上，由折叠可得∠NA1E＝∠A＝90°，∴∠DA1N＝90°，∴∠DA1N＝∠A，∵∠A1DN＝∠ADE，∴△A1DN∽△ADE，∴，即，解得DN＝5－，∴MN＝AD－DN－AM＝4－(5－)－1＝－2，故④错误；
在△A1DE中，DE＝2，A1E＝AE＝2，∴DA1随着∠DEA1的增大而增大，∵∠DEA1＝2∠NEA－∠AED，∴当∠NEA最大时，∠DEA1最大，DA1有最大值，此时点N，D重合，过点A1作A1G⊥AD于点G，作A1P⊥AB于点P，∴四边形AGA1P是矩形，∴A1G＝AP＝AE＋EP，∵EP＝A1E·cos A，即∠A1EP＝180°－2∠AEN，∴当∠AEN最大时，∠A1EP有最小值，此时EP有最大值，即A1G有最大值，∴点A1到AD的距离最大，故②正确.
类型3　裁剪与特殊图形
8.综合实践活动课上，小亮将一张面积为24 cm2，其中一边BC为8 cm的锐角三角形纸片(如图1)，经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE(如图2)，则矩形BCDE的周长为　　cm.
图1　　　 图2
22
【解析】延长AT交BC于点P.由题意，得AP＝6，∴AT＝CD＝PT＝3，∴矩形BCDE的周长为(8＋3)×2＝22(cm).

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