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(共17张PPT)
4.3 平行线的性质
1.探究并掌握平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；
2.能运用平行线的性质进行推理和计算.
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E
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两条直线被第三条直线所截形成八个角，其中有同位角、内错角、同旁内角，那么当这两条直线平行时，这些角分别满足怎样的数量关系呢？
探究1：平行线中同位角的关系
画出直线AB∥CD，截线EF与它们相交，在图上按如图所示的顺序标记∠1到∠8.
任务1：请找出所有的同位角；
65°
65°
115°
115°
∠1=∠5，∠2=∠6.
如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等.
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任务2：用量角器测量∠1和∠5，∠2和∠6的大小，由此你能猜想出什么结论？
∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.
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解：作平移使∠5的顶点M 移到∠1的顶点 N 处，
直线AB∥CD，截线EF分别与AB，CD相交于M，N两点. 试说明∠1＝∠5.
思考：若AB与CD不平行，平移后射线能否重合？此时∠1＝∠5还成立吗？
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A
C
F
D
B
E
N
M
则射线ME的像是射线NE.
由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，且AB//CD，CD经过点N，
因此平移后射线MB的像是射线ND，
即∠5的像是∠1，从而∠1＝∠5.
两直线平行，同位角相等
几何语言
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
因为AB∥CD，所以∠1＝∠5.
性 质1
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A
C
F
D
B
E
探究2：平行线中内错角的关系
前面我们已经知道了“两直线平行，同位角相等”，那么直线AB∥CD，截线EF与它们相交，内错角∠3与∠5有什么关系？请说明理由.
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠1=∠5(两直线平行，同位角相等).
又因为∠1＝∠3(对顶角相等)，
所以∠3＝∠5(等量代换).
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A
C
F
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B
E
1
两直线平行，内错角相等
几何语言
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
性 质2
因为AB∥CD，所以∠3＝∠5.
问题：根据性质2，还可以得到哪些角相等？
∠4＝∠6
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A
C
F
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B
E
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2
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探究3：平行线中同旁内角的关系
直线AB∥CD，截线EF与它们相交，同旁内角∠4与∠5有什么关系？为什么？
因为AB∥CD (已知)，
所以∠1=∠5 (两直线平行，同位角相等).
又因为∠1+∠4=180°(平角的定义)，
所以∠4+∠5=180°(等量代换).
方法一
因为AB∥CD (已知)，
所以∠3=∠5 (两直线平行，内错角相等).
又因为∠3+∠4=180°(平角的定义)，
所以∠4+∠5=180°(等量代换).
方法二
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A
C
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B
E
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两直线平行，同旁内角互补
几何语言
两条平行直线被第三条直线所截，同旁同角互补．
性 质3
因为AB∥CD，所以∠4+∠5=180°.
问题：根据性质3，还可以得到哪些角互补？
∠3+∠6=180°
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A
C
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D
B
E
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2
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解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠1＝∠2＝100°(两直线平行，同位角相等).
又因为∠2+∠3=180°(平角的定义)，
所以∠3=180°-∠2=180°-100°=80°.
你还有其他求∠3的度数的方法吗？说一说.
方法一
A
C
E
B
D
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例1 如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=100°，求∠3的度数.
F
例1 如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=100°，求∠3的度数.
4
5
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠1＝∠4＝100°(两直线平行，内错角相等).
又因为∠4+∠3=180°(平角的定义)，
所以∠3=180°-∠4=180°-100°=80°.
方法二
解：因为AB∥CD(已知)，
所以∠1+∠5＝180°(两直线平行，同旁内角相等).
所以∠5=180°-∠1=180°-100°=80°，
所以∠3=∠5=80°(对顶角相等).
方法三
A
C
E
B
D
F
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3
例2 如图，AD∥BC，∠B=∠D，试问∠A与∠C相等吗？为什么？
∠B+∠A=180°,∠D+∠C=180°
∠A=∠C
解:因为AD∥BC (已知)，
所以∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠B=∠D (已知)，
所以∠A＝∠C (等角的补角相等).
A
B
C
D
1.在括号内填写理由：如图，AB∥CD∥EF，BC∥ED，∠B=70°，求∠C，∠D和∠E的度数.
解：因为AB//CD
(已知)
所以 C= B=70°( )
两直线平行，内错角相等
因为BC//ED
(已知)
所以 C+ D=180°( )
两直线平行，同旁内角互补
所以 D=180°－ C=180°－70°=110°.
因为CD//EF
(已知)
所以 E= D=110°( )
两直线平行，内错角相等
A
B
C
D
E
F
2.如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，试说明∠1+∠2=90°.
A
B
P
C
2
1
D
∠BAC+∠ACD=180°
∠1+∠2=90°
1= BAC
2= ACD
2.如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，试说明∠1+∠2=90°.
解：因为AB//CD
(已知)，
所以 BAC＋ DCA=180°
(两直线平行，同旁内角互补).
因为AP平分∠BAC，CP平分∠ACD
所以 1= BAC， 2= ACD
(已知)，
(角平分线定义)，
所以 1＋ 2 = BAC＋ DCA= ( BAC＋ DCA)= ×180°= 90°.
A
B
P
C
2
1
D
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
线的位置关系
角的数量关系
你能回答课堂开始提出的问题吗？两平行直线被第三条直线所截时，同位角、内错角、同旁内角分别满足怎样的数量关系呢？
平行线的性质

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