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第四章 平面内的两条直线
第1课时 垂线的概念
第五节 垂线
数学湘教版（2024）七年级下册
1.了解垂线的概念及垂线的有关性质.
2.利用垂线的概念及性质，解决一些简单的几何问题.
3.经历观察、操作、交流、归纳、概括等活动，进一步发展空间概念，提高动手操作技能.
4.在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性.
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你还能举出其他生活中的例子吗
A
B
C
D
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图所示，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
如图，取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a，转动木条 b. 当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 是如何变化的？
其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a 与 b 是什么位置关系？
a
b
b
b
b
如图，当∠AOD=90°时，∠AOC、∠BOC、∠BOD等于多少度 为什么
由对顶角和邻补角的性质，得
当∠AOD=90°时，
∠AOC =∠BOC =∠BOD.
它们的交点叫作垂足．
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角时(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直.其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
“垂直”用符号“⊥”表示.
如图，直线 AB 与CD互相垂直(O为垂足)，
记作“AB⊥CD”.读做“AB 垂直于 CD”.
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为点O
几何语言：
因为∠AOD=90° （已知）
所以 AB⊥CD.
(垂直的定义)
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为点O，那么∠AOD=90°.
两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见，举出教室内一些互相垂直的实例，并于同学交流.
若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线.
如图，直线 CD 是 AB 的斜线，同样，直线 AB 也是 CD 的斜线.
(1) 如图，在同一平面内，如果 直线a⊥l，b⊥l，那么 a // b 吗？
因为 a⊥l， b⊥l，
所以 ∠1 ＝∠2 ＝ 90 ° ，
所以 a∥b （同位角相等，两直线平行）．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
(2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l ⊥ b 吗？
因为 l⊥a，所以∠1 ＝ 90°．
因为 a∥b，
所以∠2＝∠1＝90°(两直线平行，同位角相等)，
因此 l ⊥ b．
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条.
例1 在如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1 ＝ 60°，求∠2 的度数．
解: 因为 BD，AE 都垂直于 CG，
所以 BD∥AE (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
从而∠2 ＝∠1 ＝ 60°(两直线平行， 同位角相等)．
例2 如图，在△ABC中，CD⊥ AB于点 D，∠1＝∠2，求∠BEF的度数．
解: 因为 CD⊥AB，
所以∠BDC = 90°.
又因为∠1 =∠2，
所以 DC∥EF （ ）.
所以∠BEF =∠BDC = 90° （ ）.
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
解：因为 EO⊥CD，
所以∠COE =∠DOE=90°.
因为∠BOE = 60°，
所以∠BOD = 30°，
所以 ∠AOC = ∠BOD = 30°.
1. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O， EO⊥CD， ∠BOE ＝ 60°，求∠AOC 的度数．
2. 如图， DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，求∠C的度数．
解：因为 DA⊥AB， CD⊥DA，
所以 CD∥AB . (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)
所以∠B +∠C=180°，
所以∠C = 180°－ 56°=124°.
3.如图所示，AB⊥CD，垂足为 O，OE是一条射线，且∠AOE = 35°求∠BOE、∠COE 的度数.
解：因为 AB⊥CD，
所以∠AOC = 90°.
因为∠AOE = 35°，
所以∠COE = 55°.
又因为∠COB = 90°，
所以∠BOE = 145°.
4. 如图，直线 AB、CD相交于点 O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于
点 O，∠1=50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF 的度数.
解：因为 OE⊥CD，
所以∠DOE = 90°，∠COE = 90°.
因为∠1 = 50°，所以∠AOD = 40°.
所以∠COB = 40°(对顶角相等).
所以∠EOB = 130°.
因为 OD平分∠AOF，
所以∠DOF = ∠AOD = 40°.
所以∠BOF = 180°-∠COB-∠DOF = 100°.
定义：
垂线
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角时，则称这两条直线互相垂直.
=
性质：
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.

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