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第六章
二元一次方程组
今有鸡兔同笼，
上有三十五头，
下有九十四足，
问鸡兔各几何
之前都学过什么方程？
一元一次方程
你可以使用之前学过的知识解决下面的问题吗？
本章我们将学习一种新的方法来解决这个问题．
6.1二元一次
方程组
二元一次方程组
数学冀教版（2024）七年级下册
1.了解二元一次方程和二元一次方程组及它们的解的概念.
2.会判断一个方程组是否为二元一次方程组；会判断一组未知数的值是否为二元一次方程(组)的解.
3.会把一些简单的实际问题中的数量关系用二元一次方程组表示出来.
4.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值.在自主探索和合作交流的过程中，激发学生学习数学的兴趣.
含有未知数的等式叫做方程.如：2x+3=5，x+y=8.
在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.
如：2x+3=5，y+6=8.
什么叫做方程？
什么叫一元一次方程？
回顾
某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵.已知樟树树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元.问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？
情境
解：设樟树苗买了x棵，花了2x元；
白杨树苗买了(45-x)棵，花了(45-x)·1元.
买树苗一共花了60元.
依据题意，得 2x+(45-x)·1=60.
解方程 得 x=15. 45-x=30
答：樟树苗买了15棵，杨树苗买了30棵.
某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵.已知樟树树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元.问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
情境
如果将樟树苗的棵树设为x，白杨树苗的棵树设为y，是否可以将上述问题中的等量关系用方程表示出来呢？
可以.
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，根据两种树苗总数为45棵，
得x+y=45. 又根据购买树苗的总费用是60元，得2x+y=60.
某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45棵.已知樟树树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元.问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
情境
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x+y=45①， 2x+y=60②.
(1)上面的两个方程是否为一元一次方程
(2)每个方程中有几个未知数
(3)每个含未知数的项的次数是多少
(4)等式两边的式子都有什么特点
(5)把x=15，y=30分别代入方程①②中，你会有什么发现
规则：
1.以小组形式汇报展示 +2分；2.正确回答 +2分；
3.补充质疑 +2分
x+y=45①， 2x+y=60②.
(1)上面的两个方程是否为一元一次方程
(2)每个方程中有几个未知数
(3)每个含未知数的项的次数是多少
否，一元一次方程是含有一个未知数，未知数的次数为1的方程
2个
1次
x+y=45①， 2x+y=60②.
(4)等式两边的式子都有什么特点
(5)把x=15，y=30分别代入方程①②中，你会有什么发现
方程两边的式子都是整式
使方程①和方程②的左右两边相等.
含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的
次数都是1的方程,叫作二元一次方程.
总结
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫作二元一次
方程的一组解.
如x=15，y=30是x+y=45的一组解,也是2x+y=60的一组解.
一般地,将二元一次方程的一组解记为 的形式.
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已知甲数的2倍与乙数的3倍之和是12，甲数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.
(1)尝试使用一元一次方程进行求解.
(2)设甲数为x，乙数为y，请根据问题中的等量关系，尝试用含有两个未知数的一组方程表示.
(3)在(1)中解出的甲数和乙数代入(2)中的一组方程中，方程两边是否相等？
规则：
1.正确回答 +2分；2.补充质疑 +2分
已知甲数的2倍与乙数的3倍之和是12，甲数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.
(1)尝试使用一元一次方程进行求解.
已知甲数的2倍与乙数的3倍之和是12，甲数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.
(2)设甲数为x，乙数为y，请根据问题中的等量关系，尝试用含有两个未知数的一组方程表示.
甲数的2倍与乙数的3倍之和是12
2x+3y=12
甲数的3倍与乙数的2倍之差是5
3x-2y=5
已知甲数的2倍与乙数的3倍之和是12，甲数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.
(3)在(1)中解出的甲数和乙数代入(2)中的一组方程中，方程两边是否相等？
由(1)可知，甲数为3，乙数为2，即x=3，y=2，
代入2x+3y=12，2×3+2×2=12，
代入3x-2y=5，3×3-2×2=5，等号成立.
2x+3y=12
3x-2y=5
设一个未知数
设两个未知数
总结
在解决某些问题时，既可以列一元一次方程来求解，也可以列两个二元一次方程来求解，两种方法进行比较，列两个二元一次方程更容易找到等量关系.因此，当遇到存在两个变量时，可以列两个二元一次方程来求解.
图片替换区
用载质量不同的两种货车来运货.已知4辆轻型货车和5辆中型货车一次最多能运货52t，10辆轻型货车和3辆中型货车一次最多能运货54t.那么，这两种货车每辆的载质量分别是多少吨
做一做
问题中是否存在两个变量？
如若存在，尝试设未知数x，y，列出两个二元一次方程.
用载质量不同的两种货车来运货.已知4辆轻型货车和5辆中型货车一次最多能运货52t，10辆轻型货车和3辆中型货车一次最多能运货54t.那么，这两种货车每辆的载质量分别是多少吨
做一做
设每辆轻型货车的载质量为x t，每辆中型货车的载质量为y t，
根据题意，得4x+5y=52，10x+3y=54.
存在.两个变量分别为每辆轻型货车的载质量和每辆中型货车的载质量.
列两个二元一次方程的一般步骤：
第一步：分辨两个变量，并设两个变量为未知数x,y；
第二步：利用题中两个等量关系，列出两个二元一次方程.
总结
(1)对于二元一次方程，任意给定未知数x的一个值，你能求出满足方程
的未知数y的值吗 请填写下表.
规则：
1.正确回答 +2分；
2.补充质疑 +2分
(2)方程2x+3y=12和方程3x-2y=5是否还存在其他解？二元一次方
程的解是唯一的吗？
(3)是否有同时满足这两个方程的一组解 若有，请指出是哪组解.
2x+3y=12 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
3x-2y=5 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
2x+3y=12 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
3x-2y=5 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
2
2
5
(1)对于二元一次方程，任意给定未知数x的一个值，你能求出满足方程的未知数y的值吗 请填写下表.
2x+3y=12 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
3x-2y=5 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
(2)方程2x+3y=12和方程3x-2y=5是否还存在其他解？二元一次方
程的解是唯一的吗？
存在，二元一次方程的解是不唯一的.
2
2
5
(3)是否有同时满足这两个方程的一组解 若有，请指出是哪组解.
有， .
2x+3y=12 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
3x-2y=5 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
2
2
5
由几个方程组成的一组方程叫作方程组.
含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数
都是1的一组方程，叫作二元一次方程组.
总结
二元一次方程组中方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解.
二元一次方程2x+3y=12，3x-2y=5组成的方程组可记为
的形式，这个方程组的解可记为 的形式.
例1
已知下列方程：
①xy=1；②2x=3y；③x- =2；④x2+y=3；⑤ =3y-1.
其中， 是二元一次方程.（填序号）
②⑤
解析：
①中xy的次数是2；
③不是整式方程；
④中x2的次数是2.
例2
请问下列方程组是二元一次方程组吗？
不是，三个未知数
不是，
未知数出
现在分母中
是
是
是
练习
3.根据题意，设适当的未知数，列二元一次方程组.
如果甲数比乙数少3，甲数与乙数的和是15，求甲数与乙数.
①这节课你学到了哪些知识？
②二元一次方程、二元一次方程组的特征是什么？
③从实际问题到方程组，一般要经历哪些过程？
二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程组
①是一个整式方程
②只含有两个未知数
③含有未知数的项次数为1，
两个未知数的系数不为0.
①含有两个未知数
②每个方程都是一次方程
1.七（2）班买了35张电影票，共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，问甲、乙两种票各买了多少张？解决问题并尝试使用二元一次方程组表示.
2.寻找生活中可以使用二元一次方程组表示的实际问题.

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