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1.3.2 课时2
等比数列的前n项和的性质及应用
第一章 数列
1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.
2.掌握等比数列前n项和公式的性质.
3.能应用等比数列的知识解决实际问题.
问题1:我们知道，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？
等比数列前n项和公式也具有函数特征，
知识梳理
等比数列前n项和公式的函数特征
在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的
前n项和公式是Sn＝ .即Sn是n的指数型函数.
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ ，Sn是n的正比例函数.
A(qn－1)
na1
注意：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.
【例1】已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，求{an}的前n项和．
解：由题意得，等比数列{an}的公比q的取值未定，需分情况讨论．
当q＝1时，由于3a1＝1－q＝0，
即a1＝0，与{an}是等比数列矛盾，
∴q≠1，即＝.
又∵等比数列前n项和公式为Sn＝－·qn＋，
∴Sn＝－qn＋.
问题2:你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n
思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n
＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
问题3:类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，
S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
问题4：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
若等比数列{an}的项数有2n项，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，
从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，
于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，
即S奇＝a1＋qS偶.
知识梳理
等比数列前n项和公式的性质
1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).
2.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.
3.当n是偶数时，S偶=S奇·q；当n是奇数时，S奇=a1+S偶·q.
【例2】 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 ．
解：(1)由等比数列的性质得 ， ， 仍成等比数列，
于是 ，
不妨令 ，则 ，
代入解得 ，
故 ．

(2)由题意知，
解得 ，
故公比 ．
(2)等比数列共有{an}项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q= ．

∴2n=256，解得n=8.
所以公比q=2，项数n=8.
解：设该等比数列为{an}，
∵项数是偶数，∴S偶=qS奇，
∴85q=170，∴q=2.
又Sn=85+170=255，
即
【例3】一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求出该数列的公比和项数.
解：用an表示热气球在第n min上升的高度，
由题意，得
因此，数列{an}是首项a1=25、公比q= 的等比数列.
热气球在n min上升的高度为
【例4】一个热气球在第1min上升了25 m的高度，在以后的每 1 min里，它上升的高度都是它在前1 min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125 m吗？
所以这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
1.一个等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则前3n项和为(　　)
A.65　B.73　C.85　D.108
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若公比q=2，S100=36，则a1+a3+…+a99等于(　　)
A.24 B.12 C.18 D.22
A
B
3.(多选题)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话的意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则(　　)
BD

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