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第二章 导数及其应用
2.1.1 平均变化率
北师大版(2019)选择性必修二
1.理解函数平均变化率的概念．
2.会求函数的平均变化率．
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处，会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力，想想看，为什么？
观察路程x与高度y的曲线图可知，山路从B到C比从A到B要陡峭，因此，从A到B会感觉比较轻松，而从B到C会感觉比较吃力.
如何量化曲线的陡峭程度
阅读下列实例，回答问题：
实例1：物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t).
在运动的过程中测得了一些数据，见下表.
物体在0 s到2 s和10 s到13 s这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？
t/s
0
2
5
10
13
15
s/m
0
6
9
20
32
44
通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢.
在0 s到2 s这段时间内，物体的平均速度为 = 3(m/s)；
在10s到13s这段时间内，物体的平均速度为 = 4(m/s).
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.
t/s
0
2
5
10
13
15
s/m
0
6
9
20
32
44
实例2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图.
比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
解：根据图象可以看出：
当时间x从0 min到20 min时，体温y从39℃变为38.5 ℃，下降了0.5 ℃ ；
当时间x从20 min到30 min时，体温y从38.5 ℃变为38 ℃，下降了0.5 ℃.
两段时间下降了相同的体温，而后一段时间比前一段短，所以体温从20 min到30 min 这段时间下降得比从0 min到20 min这段时间快.
也可以比较在这两段时间内，体温的平均变化率（单位时间内体温的平均变化量)，于是，当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为
当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为
（℃/min）；
（℃/min）；
这里出现了负号，它表示体温下降了.显然，绝对值越大，下降得越快.因此，体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快.
实例1中，用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢，当时间从t0变为t1时，物体所走的路程从s（t0）变为s（t1），这段时间内物体的
平均速度=
实例2中，用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从x0变为x1时，体温从y（x0）变为y（x1），这段时间内体温的
平均变化率=
平均变化率=
对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)， 它在区间[x1， x2]的
通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作△x，函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量，记作△y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 用它来刻画函数值在区间[x1， x2]上变化的快慢.
思考：你能说出平均变化率的实际意义吗？
平均变化率的实际意义：在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加??????????个单位，因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加(??????????h)个单位.
?
注意：上述Δ????在????1?
(平均变化率的另一种形式)
问题：图中为函数????=????(????)?的函数图像，其中A(????1，????1)， B(????2，????2)，则函数在区间[x1，x2]上的平均变化率??????????与直线AB的斜率????????????有什么关系？
?
??????????=????2?????1????2?????1=????(????2)?????(????1)????2?????1=????????????
?
平均变化率的几何意义——割线的斜率
函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率.
因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.
例1 求函数????????=????2在下列区间上的平均变化率：
（1） [1,3]；
（2）以1和1+?????为端点的闭区间.
?
解： (1)依定义可知?????????? =????3?????(1)3?1 =32?222 =4.
?即在[1,3]上的平均变化率为4.
(2)依定义可知?????????? =????1+??????????(1)????? =1+?????2?122 =2+?????.
????????在以1和1+?????为端点的闭区间上的平均变化率为2+?????.
?
例1(2)的计算结果说明，函数????????=????2在以1和1+?????为端点的闭区间上的平均变化率与?????有关； ?????增大时，平均变化率增大.
从几何上来看就是，当?????增大时，函数????????=????2的图像上，连接(1,????1)与(1+ ??????,????1+?????)的直线斜率将不断增大，如图所示，直线AB的斜率小于直线AO的斜率，且直线AO的斜率小于直线AC的斜率.
?
方法归纳
求平均变化率的主要步骤
从物理学中我们知道，平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t)，则物体在[t1,t2](t1?????2??(????1)????2?????1 (m/s).
这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.
?
例2 已知某物体运动的位移?????m是时间?????s的函数，而且????=0.1时，????=0.25； ????=0.5时，????=2.25.
(1)求这个物体在时间段[0.1,0.5]内的平均速度；
(2)估计出????=0.2时物体的位移.
?
解： (1) 所求平均速度为2.25?0.250.5?0.1 =20.4=5(????/????).
(2)将?????在0.1,0.5上的图像看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为5，且直线通过点0.1,0.25，因此， ????与????的关系可近似地表示为
?????0.25=5?????0.1.?
在上式中令????=0.2?，可求得????=0.75?，即物体的位移可以估计为0.75m.
?
1.一物体的运动方程是????=3+????2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为( )
A.0.41 B.3 C.4 D.4.1
?
D
2.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
B
3.一物体的运动函数是s(t)=3+2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度 .
4.函数f(x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为　　　　.?
5.如图所示，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_____________.
2
2
[x3，x4]
函数的平均变化率
定义
几何背景
物理背景
割线斜率
平均速度

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