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第二章 导数及其应用
2.2.1 导数的概念
北师大版(2019)选择性必修二
1.理解导数的概念.
2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
3.理解导数的实际意义.
1.平均变化率
2.瞬时变化率
通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作△x,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作△y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即
用它来刻画函数值在区间[x1, x2]上变化的快慢.
设函数y=f(x)，当自变量x从x0变为x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为
当x1趋于x0，即△x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.
在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数，通常用符号f＇(x0)表示，记作
注意：
(1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在.
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.
(3)导数的实质是一个极限值.
例1 求函数????????＝3????2?2????在x＝1处的导数.
?
解：因为Δ????=31＋Δ????2－21＋Δ????－3×12－2×1=3Δ????2＋4Δ????，
所以 ??????????=3Δ????2＋4Δ?????????=3?????+4，
因此????′(1)=lim?????→0??????????=lim?????→03?????+4=4.
?
求函数????=????(????)在点x0处的导数
?
归纳总结
解：f'(1)=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4 kg的食品.
例2 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位:kg)与其工作时间x(单位:h)的函数关系为y=f(x).假设函数y=f(x)在x=l和x=3处的导数分别为f'(1)=4和f'(3) =3.5,试解释它们的实际意义.
f'(3) =3.5表示该工人上班后工作3 h的时候，其生产速度为3.5 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3. 5 kg的食品.
例3 某正方形铁板在0 ℃时，边长为10cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10 1+????????????????，其中????为常数，设此时正方形的面积为S?????????2?，且????=????(????)，求????′(0)并解释其实际意义.
?
解：依题意可知
????????=[10(1+????????)]2 =100(1+????????)2，
?
设????=0时温度的改变量为?????，则
?????????? =????0+??????????(0)????? =100[1+????0+?????]2?100(1+????×0)2????? =200????+100????2?????.
则????′0 =lim?????→0??????????=lim?????→0200????+100????2?????=200????.
这表示在0?℃时，铁板面积对温度的瞬时变化率为200????.
也就是说在0 ℃时，铁板面积的改变量为200??????????????????2.
?
1.函数在某一点的导数是( )
A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B.一个函数
C.一个常数，不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
C
2.已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于( )
A.Δx－3 B.(Δx)2－3Δx
C.－3 D.0
3.已知函数f (x)在x=x0处的导数为2，则lim?????→0????????0+??????????????02?????=___________.
?
1
?
C
根据今天所学，回答下列问题：
1.导数的概念和数学符号？
2.导数在实际问题中的意义？

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