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第二章 导数及其应用
2.2.2 导数的几何意义
北师大版(2019)选择性必修二
1.掌握导数的几何意义，并能求切线斜率、切线方程等.
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤
问题：(1)函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，你能说出它的几何意义吗？
表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线.
(2)当Δx变化时，直线如何变化？
直线AB绕点A转动.
(3)当Δx→0时，直线变化到哪里？
直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置.
函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
思考1:如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程?
根据导数的几何意义，求出函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，
再由直线方程的点斜式求出切线方程.
思考2:曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同?
曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k=f'(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；
而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.
思考3:曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?
不一定.曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.
例1 已知函数????(????)=????2，求曲线y=????(????)在(1,????1)处切线的斜率与方程.
?
解：因为????′1=lim?????→0????1+??????????(1)?????
=lim?????→01+?????2?1?????=lim?????→02+?????=2，
因此所求切线的斜率为2.
又因为????(1)=12=1，
所以切线的方程为 y?1=2(?????1)，
即y=2?????1.
?
切点坐标(1,1)
例2 求曲线????(????)＝????2－????＋3在点(1，3)处的切线方程.
?
解：因为????′1 =lim?????→0????1+??????????(1)?????
=lim?????→0(1+?????)2?1+?????+3?(12?1+3)?????=lim?????→01+?????=1，
又因为切点坐标为(1，3)，
所以切线的方程为 y?3=1×(?????1)，
即????=????+2.
?
例3 已知函数y1=f(x)=x2-1在x=x0处的切线与函数y2=g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行，求x0的值.
方法总结
根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0).
(2)求导函数f'(x).
(3)求切线的斜率f'(x0).
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标.
1.已知函数f(x)=?1????，则曲线y=f (x)在(1,-1)处的切线方程是(　　)
A.x-y-2=0 B.2x-2y+3=0
C.x+y=0 D.x-y=0
?
A
2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
A
3.函数y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为　　　　　　　.
4.曲线y＝14x2在点Q(2，1)处的切线方程为　　　　　　　.
5.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________.
?
16
x－y－1＝0
(3，30)
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何求函数在某点处的切线的方程？
2.如何根据切线斜率求切点坐标？

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