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2.3 导数的计算
第二章 导数及其应用
1.进一步理解导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数；
2.理解导函数的概念，会根据导数公式表求简单函数的导数．
求函数????=????(????)在点x0处的导数
?
当Δx趋于0时，得到导数
对于定义域中的每一个自变量的取值x0，
(2)当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值如何？
一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)
＝ ，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
概念讲解
思考:会区分“函数f(x)在点x0处的导数”与“导函数”吗?
“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，
“导函数”是一个函数，
二者有本质的区别，但又有密切关系，f'(x0)是其导函数y=f'(x)在x=x0处的一个函数值.
【例2】分别求出下列函数的导数，并说说导数的意义.
（1）????????=????，其中????是常数；
?
x
????????
?
O
???????? = C
?
解：（1）根据定义可知
????′????=lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→0??????????????=lim?????→00=0.
?
若 ???????? = C 表示路程关于时间的函数，则 ????′????= 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即一直处于静止状态.
?
（2）????????=????；
?
（2）根据定义可知
????′????=lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→0????+???????????????=lim?????→01=1.
?
若 ????(????) = x 表示路程关于时间的函数，则 ????′????= 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速直线运动.
?
x
????????
?
O
???????? = x
?
（3）????????=????3；
?
（3）根据定义可知
????′?????=lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→0????+?????3?????3?????
?????????????=lim?????→0[?3????2+3??????????+(?????)2]=3????2
?
由导数????′???? =3????2是偶函数可知，在曲线????=????3上，自变量互为相反数的两点，它们的切线斜率相等；????>0时，自变量越大，切线的斜率越大，????也越大，函数????????=????3增加得越来越快.
?
（4）????????=1????；
?
（4）根据定义可知
????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→01????+??????1?????????=lim?????→0?1????(????+?????)=?1????2.
?
由导数????′????=?1????2是偶函数可知，在曲线????=1????上，自变量互为相反数的两点，它们的切线斜率相等；????>0时，自变量越大，切线的斜率越大，????越小，函数????(????)=1???? 减少得越来越慢.
?
（5）????????=????(????>0).
?
（5）根据定义可知
????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→0????+???????????????
=lim?????→0??????????(????+?????+????)=lim?????→01????+?????+????=12????
?
在曲线????=????上，当 x > 0 时，自变量越大，切线的斜率越小， ????越小，函数????(????)?= ???? 增加得越来越慢.
?
x
y
O
y = ????
?
因为1???? =?????1，1????2=?????2，????=????12，1????=?????12，
?
思考：观察上述导函数，归纳出幂函数????????=????????(????≠0)的导函数具有的形式？
?
(????2)′ =2?????2?1=2????
?
(????3)′ =3?????3?1=3????2
?
(1????)′=(?????1)′=?1??????1?1=?1????2
?
(????)′=(????12)′=12?????12?1=12????
?
归纳：
原幂指数作为求导后的系数
原幂指数减1作为现幂指数
(????????)′ =?????????????1.
?
【例2】已知函数????????=????????，????????=????????????，求????′???? ， ????′????.
?
解：在（????????）′ =????????????????????，中令????=????，可得（????????）′ =????????????????e=????????，
因此????′????=????????.
在（????????????????????）′ =1???????????????? ，中令????=????，可得（????????????????????）′ =1????????????????，
即(ln????)′=1????，
因此????′????=1????.
?
基本初等函数的导数公式
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 原函数
导函数
f (x)＝C(C为常数)
f ′(x)＝_____________
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f ′(x)＝_____________
f (x)＝sin x
f ′(x)＝_____________
f (x)＝cos x
f ′(x)＝_____________
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝_____________(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ex
f ′(x)＝_____________
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝_____________(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f ′(x)＝_____________
0
?????????????1
?
cos????
?
?sin????
?
????????ln????
?
????????
?
1????ln????
?
1????
?
归纳总结
【例3】求下列函数的导数:
{74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}常用函数的求导公式
????
?
?????????????????
?
????????????????????
?
????????????????????
?
????????????????
?
?????????????????
?
????????
?
????????
?
B
2.下列函数求导运算正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
3.若f (x)=x2， g (x)=x3 ，则满足f ′(x)+1=g′(x)的x值为__________.
?
1或?13
?
4.设函数f (x)=log????????， f ′(1)=?1，则a=__________.
?
1????

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