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第二章 导数及其应用
2.5 简单复合函数的求导法则
北师大版(2019)选择性必修二
1.了解复合函数的概念.
2.掌握复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数.
导数的四则运算法则
导数定义
基本初等函数
导数的四则运算法则
问题1：对于函数 ，利用以下知识是否能求出它的导数呢？
×
×
×
复合函数求导问题
（ ）
一、复合函数的概念：
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
练习1：下列函数是怎样复合而成的.
如何求导呢？
问题2： 如何求函数????=sin2????的导数.
?
函数????=sin2????是复合函数，令????=2????，得????=sin????，
以????????′表示????对????的导数，????????′表示????对????的导数，一方面，
????????′ =(sin2?????)’=(2sin????cos?????)’=2(sin?????)’?cos????+sin?????(cos?????)’
=?2cos?????cos????+sin?????(?sin????) =2(cos2?????sin2????) = 2cos2????，
另一方面????????′ =(sin?????)’= cos?????，????????′ =(2?????)’=2，
可以发现????????′= 2cos2????=cos?????2=?????????′ ?????????′.
?
二、复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝11?3????4；(2)y＝cos2????+π3；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.
?
解：(1)令u＝1－3x，则y＝1????4＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝121?3????5.
(2)令u＝2x＋ π3?，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2＝－2sin 2????+π3.
?
(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.
(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝2????ln2＝ 22????+1ln2.
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
?
方法归纳
复合函数求导的步骤
例2 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sinπ12????+5π6(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，
并解释它的实际意义．
?
解：设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝π12????+5π6．
由复合函数求导法则得s′(t)＝f ′(x)·φ′(t)＝3cos x·π12＝π4cos(π12????+5π6)．
将t＝18代入s′(t)得，s′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)，
它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为π8 m/h．
?
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
归纳总结
1.(多选)下列函数是复合函数的是( 　)
A．y＝－x3－1????＋1 B．y＝cos????+π4
C．y＝1ln???? D．y＝(2x＋3)4
2.已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)等于( 　)
A.2cos 2x＋2e2x B.cos 2x＋e2x
C.2sin 2x＋2e2x D.sin 2x＋e2x
?
BCD
A
3.已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝_____.
4.f(x)＝?????????1，且f′(1)＝1，则a的值为________．
?
2
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 什么是复合函数？
2. 如何求复合函数的导数？

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