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第二章 导数及其应用
2.6.1 函数的单调性
北师大版(2019)选择性必修二
1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.会用导数求函数的单调区间.
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时,
（1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
（2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数；
函数的单调性的定义
情境:图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点.
t
h
a
O
b
(1)
t
v
a
O
b
(2)
问题1:运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
观察图象可以发现:
(1) 从起跳到最高点，
运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，
即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0.
(2) 从最高点到入水，
运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，
即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0.
t
h
a
O
b
(1)
t
v
a
O
b
(2)
问题2:我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢?
对于高台跳水问题，可以发现:
当t∈(0, a)时h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增；
当t∈(a, b)时h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减.
追问:这种情况是否具有一般性呢？
在区间(a,b)上， h′(t)>0
在区间(a,b)上， h′(t)<0
在区间(a,b)上， h(t)单调递增
在区间(a,b)上， h(t)单调递减
猜测
问题3:观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
x
y
O
(3)
x
y
O
(4)
x
y
O
y＝x
x
y
O
y′＝1
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0
x
y
O
y＝x2
x
y
O
y ′＝2x
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
x
y
O
y ＝x3
x
y
O
y ′ ＝3x2
在(-∞, 0)上， f (x)单调递增
在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
x
y
O
x
y
O
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上， f (x)单调递减
在(0, +∞)上，f ′ (x)<0
追问:能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系？
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
如图所示，导数f '(x0)表示函数y=f (x)的图象在点(x0, f (x0))处的切线的斜率，可以发现:
在x=x0处
f ′(x0)>0
函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增
切线“左下右上”上升
在x=x1处
f ′(x1)<0
函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减
切线“左上右下”下降
函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f '(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f ′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f '(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
追问1:如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
追问2:存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性?
f(x)仍为增函数.
例1 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
D
解析:由函数的图象，
可知当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；
当x>0时，函数先增后减再增，
即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
例2 利用导数判断下列函数的单调性.
（1）f (x) = x3 + 3x； （2）f (x) = ?????1???? .
?
解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x， x∈R，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0；
所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递增.
（2）因为 f (x) = ?????1????，x∈(?∞，0)∪(0，+∞)，所以 f ′(x) = 1????2 > 0；
所以函数 f (x) = ?????–?1???? 在区间(?∞，0)和(0，+∞)上单调递增.
?
方法归纳
判定函数单调性的步骤：
① 求出函数的定义域；
② 求出函数的导数f ?(x)；
③ 判定导数f ?(x)的符号；
④ 确定函数f(x)的单调性.
例3 求函数????????=?????????2的单调区间.
?
解：根据题意，函数????(????)的定义域为[0,1]，
又????′????=1?2????2?????????2.
令????′????>0，可得????<12；
令????′????<0，可得????>12；
因此，函数????(????)的单调递增区间为[0,12] ，单调递减区间为[12,1].
?
注意：不要忽略函数的定义域.
求y=f(x)的单调区间的步骤：
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集内单调递增.
(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集内单调递减.
方法归纳
例4 设函数f(x)=ex-ax-2，求f(x)的单调区间.
解：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f'(x)=ex-a.
∵当a≤0时，f'(x)>0，
∴f(x)在(-∞，+∞)内单调递增.
当a>0时，∵当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0;
当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0.
∴f(x)在(-∞，ln a)内单调递减，在(ln a，+∞)内单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞);
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(ln a，+∞)，单调递减区间为(-∞，ln a).
1. 若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为(　　)
C
2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.(－∞，0) D.(0，2)
3.下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝sin x B.y＝xex
C.y＝x3－x D.y＝ln x－x
D
B
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 函数的单调性与导数的正负之间的关系？
2. 如何用导数来判断函数单调性？
3. 如何用导数求函数的单调区间？

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