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— 第二章 导数及其应用 —
2.6.2 函数的极值
1.理解极值、极值点的概念，了解函数在某点处取得极值的条件．
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值．
a
b
x1
x5
x4
x3
x2
O
y
x
问题：函数y=f(x)在x1，x2等点处的函数值与其左右附近的函数值什么关系？
f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，x1，x3，x5为极大值点，
f(x2)，f(x4)为极小值，x2，x4为极小值点.
设函数y=f(x)的定义域为D，设x0属于D，如果对x0附近的任意不同于x0的x，都有f(x)设函数y=f(x)的定义域为D，设x0属于D，如果对x0附近的任意不同于x0的x，都有f(x)＞f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值.
x0
x0
极大值
极小值
极大值点与极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
x0
x0
极大值
极小值
思考：(1)函数是否一定存在极值?若存在，是否是唯一的?
(2)极大值是否一定比极小值大?
(3)函数的极值点是否可以出现在区间的端点?
(1)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值又有极小值.
(2)极大值与极小值之间无确定的大小
关系，即一个函数的极大值未必大于
极小值.
(3)不可以，函数在一个区间的端点处
一定不可能取得极值，因为不符合极
值点的定义.
函数y=f(x)的图像中，A,B对应横坐标x1，x2是函数的极值点.已知曲线y=f(x)在点A，B处存在切线.
1.A，B处的切线具有什么特征？这说明f(x)在x1，x2 处的导数具有什么特点？
2.曲线在A，B处附近的点处的切线具有什么特征？
A
B
图中可以看出，曲线????=????(????)在A，B处的切线都是水平的，这等价于
????′????1=????′????2=0.
?
函数y=f(x)的图像中，A,B对应横坐标x1，x2是函数的极值点.已知曲线y=f(x)在点A，B处存在切线.
2.曲线在A，B处附近的点处的切线具有什么特征？
A
B
在极大值点附近
在极小值点附近
f ?(x)<0
f ?(x)>0
f ?(x)>0
f ?(x)<0
归纳总结
一般地，如果????0是????=????(????)的极值点，且????(????)在????0处可导，则必有
????′????0=0.
?
讨论：(1)若有????′????0=0，则????0一定是函数的极值点吗？
(2)函数的极值点与函数的单调性有什么关系？
?
(1)不一定，例如对于函数f(x)=x3，虽有f'(0)=0，但由于无论????>0，还是????<0，恒有f'(x)>0，即函数f(x)=x3是增函数，所以0不是函数f(x)=x3的极值点.
?
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(2)极大值点可以看成函数单调递增区间到单调递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间到单调递增区间的转折点.
结合导数与函数单调性的关系，我们可以得到如下表格：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f ′(x)
＋
－
y=f (x)
增加↗
极大值
减少↘
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f ′(x)
－
＋
y=f (x)
减少↘
极小值
增加↗
y
a
b
x0
O
x
y
a
b
x0
O
x
例1 函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y=f(x)在区间(3，5)内单调递增；
②函数y=f(x)在区间?12，3内单调递减；
③函数y=f(x)在区间(-2，2)内单调递增；
④当x=-12时，函数y=f(x)有极大值；
⑤当x=2时，函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的序号是　　　.?
?
f'(x)的图象
x∈(3，4)，f'(x)＜0
x∈(4，5)，f'(x)＞0
f(x)单调递减←
f(x)单调递增←
(3，4)单调递减，(4，5)单调递增
x∈(?12，2)，f'(x)＞0
x∈(2，3)，f'(x)＜0
?
f(x)单调递增←
f(x)单调递减←
(?12，2)单调递增，(2，3)单调递减
?
例1 函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y=f(x)在区间(3，5)内单调递增；
②函数y=f(x)在区间?12，3内单调递减；
③函数y=f(x)在区间(-2，2)内单调递增；
④当x=-12时，函数y=f(x)有极大值；
⑤当x=2时，函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的序号是　　　.?
?
③⑤
f'(x)的图象
x∈(-2，2)，f'(x)＞0
f(x)单调递增←
√
(3，4)单调递减，(4，5)单调递增
(?12，2)单调递增，(2，3)单调递减
?
×
√
方法归纳
对于这类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，
(1)如果“左正右负”，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
(2)如果“左负右正”，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
(3)如果左右符号不改变，那么函数f(x)在这个根处不取极值.
例2 求下列函数的极值：
(1)f?(x)＝sin x－cos x＋x＋1(0 解:(1)f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝1＋2sin(x＋????4)，
令f′(x)＝0，从而sin(x＋????4)＝﹣22，又0＜x＜2π，所以x＝π或x＝3????2.
?
求可导函数f(x)的极值的步骤:
①求导数f'(x).
②求方程f'(x)=0的根.
③观察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两边的符号，
如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；
如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.
方法归纳
例3 已知函数f(x)=13x3－x2＋ax－2.
(1)若函数的极大值点是﹣1，求a的值；
(2)若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围.
?
解:(1)f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意有f′(﹣1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝﹣3，
则f′(x)＝x2－2x－3，
经验证可知，f(x)在x＝﹣1处取得极大值，故a＝﹣3.
(2)由题意有方程x2－2x＋a＝0有两个不等实根，
∴△＝(﹣2)2－4a＞0，解得a＜1，
故a的取值范围是(﹣∞，1).
因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须检验．
1.下列函数中存在极值的是( )
A.y=1???? B.y=x-ex
C.y=2 D.y=x3
2.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a等于( )
A.-4　　　B.-2　　　C.4　　　D.2
3.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( 　 )
A.－e B.－1 C.1－e D.0
?
B
D
B
4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
D
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 什么是极值？极值点是一个点吗？
2. 函数在某点取得极值的充要条件是什么？
3. 如何求函数的极值？

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