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2.6.2 函数的极值
第二章 导数及其应用
1. 了解极值的概念.
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
3. 会用导数求函数的极值．
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
?
观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
问题1 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律?
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
放大t=a附近的图象, 如图所示.
由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近,
当t0;
当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0.
这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.
问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢?
追问1 如图，函数y=f (x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
函数f (x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.
函数f (x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.
以x=a, b两点为例
追问2 y=f (x)在这些点处的导数值是多少？
f ′(a)=0
f ′(b)=0
追问3 在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
在x=a附近
左侧f ′(x)<0,
右侧f ′(x)>0
在x=b附近
左侧f ′(x)>0,
右侧f ′(x)<0
极值点与极值
一般地，设函数????=????(????)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)????(????) (2)????(????)>????(????0)，则称x0为函数????(????)的一个极小值点，且????(????)在x0处取极小值，例如b和????(????).
?
概念讲解
追问1 f ′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件？
x0是函数 f(x) 的极值点
f ′(x0)=0
x0是函数 f(x) 的极值点
x0左右两侧导数异号
f ′(x0)=0
结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
追问2 函数 y=f (x)在x=x0处取得极值的充分条件是什么？
x0左右侧导数异号
f ′(x0)=0
x0为极值点
问题3 函数的极大值一定大于极小值吗？函数的极大值与极小值是否有大小关系？
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
极小值
极大值
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
归纳总结
【例1】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，f′(－1)＝f′(1)＝0，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点？
解:(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f′(－1)＝f′(1)＝0，
得3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点？
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减.
∴x＝1是函数的极小值点，x＝－1是函数的极大值点.
【例2】求函数f(x)=x2e-x的极值点和极值.
解：函数f(x)的定义域为R.
f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.
令f'(x)=0，得x=0或x=2.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞，0)
0
(0，2)
2
(2，+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出，0为函数f(x)的极小值点，极小值为f(0)=0.
2为函数f(x)的极大值点，极大值为f(2)=4e-2.
【例3】已知函数????????=13????3?4????2+4，求函数的极值，并作出函数图象的示意图.
?
解：由题意可得????′????=????2?4 =(????+2)(?????2).
令????′????=0，解得????1=?2，????2=2.
当????变化时，????′????， ????????的变化情况如下表：
因此，当????=?2时，????????有极大值，极大值为?????2= 283;
当????=2时，????????有极小值，极小值为????2=- 43.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
-2
2
+
0
0
+
↗
↘
↗
函数????????=13????3?4????2+4的图像如图所示.
?
【例3】已知函数????????=13????3?4????2+4，求函数的极值，并作出函数图象的示意图.
?
方法归纳
一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f (x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 什么是极值？极值点是一个点吗？
2. 函数在某点取得极值的充要条件是什么？
3. 如何求函数的极值？
1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( 　 　)
A.在(1,2)上函数f(x)是增函数
B.在(3,4)上函数f(x)是减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
2.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为 .
ABC
0
3.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( 　 )
A.－e B.－1 C.1－e D.0
4.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A.(-1，2)
B.(-3，6)
C.(-∞，-1)∪(2，+∞)
D.(-∞，-3)∪(6，+∞)
B
D

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