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第二章 导数及其应用
2.6.3 函数的最值
北师大版(2019)选择性必修二
1. 理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系；
2. 会求某闭区间上函数的最值.
探究.观察图所示函数????=????????， ????∈[?3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：
（1）图中所示函数的最值点与最值分别是多少？
（2）图中所示函数的极值点与极值分别是多少？
?
（1）如图所示的最大值点为2，最大值为3；最小值点为0，最小值为-3.
（2）函数的极大值点为-2，极大值为2；极小值点为0，极小值为-3.
函数的最值
(1)一般地，如果函数y＝f (x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；
(2)如果函数y＝f (x)的定义域为[a，b] 且存在最值，函数y＝f (x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点．
问题：函数的极值与最值的区别是什么？
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，
函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；
极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；
有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；
极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
注意：1.给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，尽管函数图象是连续的，那么它也不一定有最大值和最小值.
例如函数f(x)=1????在区间(0，2)上的图象是连续不断的曲线，但在该区间上，函数f(x)既没有最大值，也没有最小值.
?
2.所给函数的图象必须是连续曲线，否则不一定有最值.
例如函数f(x)=|????|，?1≤????≤1，????≠02，????=0 在[-1，1]上只有最大值，而没有最小值.
?
3.函数的最值是一个整体性概念，最大值(最小值)必须是整个区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个，也可能没有.
4.极值只能在函数区间的内部取得，而最值可以在区间的端点取得，有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能是最值，最值只要不在端点处则一定是极值.
例1 (1)求函数f(x)=x3-12x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值；
(2)求函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值.
?
解：(1)f'(x)=3x2-x-2，令f'(x)=0，得x1=-23，x2=1.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
?
x
-2
1
(1，2)
2
f'(x)
?
+
0
-
0
+
?
f(x)
-1
↗
↘
↗
7
通过比较，f(x)max=f(2)=7，f(x)min=f(-2)=-1.
(2)求函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值.
?
(2)f'(x)=12+cos x，令f'(x)=0，得x1=2π3，x2=4π3.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
?
x
0
2π
f'(x)
?
+
0
-
0
+
?
f(x)
0
↗
↘
↗
π
通过比较，f(x)max=f(2π)=π，f(x)min=f(0)=0.
方法归纳
求函数 y = f (x) 在区间 [a，b] 上的最值的步骤：
例2 已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
解：h(x)=x3+3x2-9x+1，h'(x)=3x2+6x-9.
令h'(x)=0，解得x1=-3，x2=1，
当x变化时，h'(x)及h(x)的变化情况如下表:
x
(-∞，-3)
-3
(-3，1)
1
(1，+∞)
h'(x)
+
0
-
0
+
h(x)
↗
28
↘
-4
↗
当x=-3时，h(x)取极大值28；当x=1时，h(x)取极小值-4.
而h(2)=3 ∴如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤-3.
即k的取值范围为(-∞，-3].
例2 已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
方法归纳
例3 设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R，t>0)，h(t)为f(x)的最小值.
(1)求h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R，t>0)，
∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1，
即h(t)=-t3+t-1.
(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m，
由g'(t)=-3t2+3=0，得t=1，t=-1(不合题意，舍去).
当t变化时，g'(t)，g(t)的变化情况如下表:
t
(0，1)
1
(1，2)
g'(t)
+
0
-
g(t)
↗
1-m
↘
∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)=1-m.
h(t)<-2t+m在(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在(0，2)内恒成立，
即等价于1-m<0，
∴m的取值范围为(1，+∞).
分离参数法求解不等式恒成立问题的步骤
方法归纳
1.下列结论正确的是(　 　)
A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
D
2.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是( )
A.1，－1 B.1，－17
C.3，－17 D.9，－19
3.已知函数f(x)=12x4-2x3+3m，x∈R，若f(x)+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　.
?
C
[32，+∞)

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