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2.7.1 实际问题中导数的意义
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2.7.2 实际问题中的最值问题
第二章 导数及其应用
1.能建立实际问题的函数模型，进一步理解导数的概念，能分析实际问题中导数的意义.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
【例1】一个质量m=5 kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+12t2表示，并且物体的动能Ek=12mv2(m为物体质量，v为物体运动速度)，则物体开始运动后第7 s时的动能是(　　)
A.160 J　　　　　　　　　B.165 J
C.170 J D.175 J
?
A
【例2】如图，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位:J)是时间t(单位:s)的函数，设这个函数可以表示为 W=W(t)=t3-6t2 +16t.
(1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求W'(1)，W'(2)，并解释它们的实际意义.
解： (1)当t从1s变到3s时，功W从W(l) =11 J变到W(3) = 21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为
它表示从1 s到3 s这段时间内，这个人平均每秒做功5 J.
(2)求W'(1)，W'(2)，并解释它们的实际意义.
(2)首先求W'(t).根据导数公式表和导数的运算法则，可得
W'(t) = 3t2-12t+16.
于是W'(1)=7 J/s，W'(2)=4 J/s.
W'(1)和W'(2)分别表示t=1 s和t=2 s时，这个人每秒做的功为7 J和4 J.
自变量x
原函数f (x)
导函数f ′(x)
时间
路程
速度
长度
质量
线密度
时间
功
功率
时间
降雨量
降雨强度
产量
生产成本
边际成本
实际问题中导数的意义
归纳总结
情境：如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC=1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
海
陆
探究：分别计算下列两种算法的铺设成本.
(1)先沿AC铺设，再沿CB铺设；
(2)直接沿着线段AB铺设.
解：(1) 成本为1.2×50+1.6×30=108万元.
(2) AB=????????2+????????2=1.22+1.62=2?km
所以直接沿线段AB铺设，成本为 2×50=100万元.
?
海
陆
情境：AC=1.2 km，BC=1.6 km ，已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
还有其他方案吗？
在岸上取一点D，设其距离C的距离为????km，则
AD=????????2+????????2=1.22+????2?km，
DB=1.6??????(km).
设先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为????万元，
则????=501.22+????2+30(1.6 ??????)，0≤????≤1.6.
?
情境：AC=1.2 km，BC=1.6 km ，已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
因此，当 0?
海
陆
情境：AC=1.2 km，BC=1.6 km ，已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
当 0?
令????′ >0，可解得????>0.9.
可知????在[0，0.9]?上递减，在[0.9，1.6]上递增，从而y在????=0.9时取得最小值，而且最小值为
501.22+0.92+30(1.6 ?0.9?)=96.
最少花费是96万元.
?
????
?
【例3】如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？
【例3】OB=150 km，AB=300km，汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？
解：设点C与点B的距离为?????km，运输时间为T(????)h，则
????????=1502+????250+300?????130，0≤????≤300.
因为????′????= 12×(1502+????2)?12×2????50?1130=????501502+????2?1130，
令????′????>0，可解得????>1252.
?
????
?
【例3】OB=150 km，AB=300km，汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？
????
?
因此可知????????在[0，1252]上递减，在[1252，300]上递增，
从而????????在????=1252时取得最小值.
这就是说，点C选在离点B点为1252时可使运输时间最短.
?
归纳总结
(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).
(2)求导函数f'(x)，解方程f'(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(4)依据实际问题的意义给出答案.
最优化问题的求解步骤
【例4】某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现：日销售量Q（件）与实际销售价x（元/件）满足关系：
Q＝392????2?29????+107，5（1）求总利润（利润＝销售额-成本）y（元）与销售价x（元/件）的函数关系式；
（2）当实际销售价为多少时总利润最大.
?
解：（1）根据题意得，总利润y（元）与销售价x（元/件）的函数关系式是
y＝392????2?29????+107?????5，5＝392????3?39????2+252?????535，5?
（2）由（1）得①当5则y′＝234(x2-13x+42)＝234(x-6)(x-7).
当50，y为增函数；
当6∴ 当x＝6时，ymax＝195.
②当7≤x<8时，y＝6(33-x)∈(150，156］.
③当8≤x<13时，y＝-10(x-9)2+160，
∴ 当x＝9时，ymax＝160.
综上，当x＝6时，总利润最大，即当实际销售价为6元/件时总利润最大.
最优化问题
用函数表示问题
用导数解决问题
最优化问题答案
1.某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示(　　)
A.t＝t0时做的功 B.t＝t0时的速度
C.t＝t0时的位移 D.t＝t0时的功率
2.在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示(　　)
A.t＝10时的降雨强度 B.t＝10时的降雨量
C.t＝10时的时间 D.t＝10时的温度
D
A
3.制造一个方底无盖水箱，它的容积为256 m3，当用料最省时，它的高为(　　)
A.4 m B.6 m C.4.5 m D.8 m
4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(　　)
A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元
A
D

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