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第六章 立体几何初步
6.5.2.2 平面与平面垂直的判定
1.掌握面面垂直的判定定理，并能利用定理解决相关问题.
2.掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系.
回顾：（1）说一说线面垂直的判定定理.
（2）面面垂直的定义是什么？
（1）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
（2）两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
知识点：平面与平面垂直的判定
问题：在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直.“紧贴墙面的线”这句话的实质意义是什么？
此线在墙所在的平面内，即平面过另一平面的垂线，则两平面垂直.
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
归纳总结
符号语言：a⊥α，a β α⊥β.
α
β
a
线面垂直 面面垂直
思考：过平面外一点可以作多少个平面和已知平面垂直？
无数个，理由：过平面外一点可以作平面的一条垂线，过此垂线可以作出无数个平面，这些平面都与已知平面垂直.
例1 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四个侧面都是矩形.
求证：平面BB1C1C⊥平面ABCD.
同理可得CC1⊥CD.
又BC∩CD＝C，BC，CD 平面ABCD，因此CC1⊥平面ABCD，
证：由四边形BB1C1C是矩形，得CC1⊥BC.
又CC1 平面BB1C1C，于是平面BB1C1C⊥平面ABCD.
这说明侧面是矩形的棱柱是直棱柱，直棱柱的侧面都垂直于底面.
例2 如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB.
（1）四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？
（2）求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小.
解：（1）由A1A⊥平面ABC，A1A 平面A1AB，
得平面A1AB⊥平面ABC，
同理可得平面A1AC⊥平面ABC.
∵A1A⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1A⊥BC.
又∵AB⊥BC，A1A 平面A1AB，AB 平面A1AB，A1A∩AB＝A，∴BC⊥平面A1AB，
由BC 平面A1BC，得平面A1BC⊥平面A1AB.
综上所述四面体A1-ABC中有3组互相垂直的平面，
分别是平面A1AB⊥平面ABC，平面A1AC⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1AB.
（2）由（1）知平面A1BC⊥平面A1AB，∴二面角A-A1B-C为90°.
由BC⊥平面A1AB，得A1B⊥BC，
又AB⊥BC，∴∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角.
Rt△A1AB中，AA1＝AB，则∠A1BA＝45°，即二面角A1-BC-A为45°.
归纳总结
证明平面与平面垂直的方法：
①利用定义：证明二面角的平面角为直角；
②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
思考：空间中的线、面垂直关系是如何转化的？
线线垂直
线面垂直
判定
面面垂直
判定
性质
练一练
1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( )
A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n β
C.m∥n，n⊥β， m α D.m∥n，m⊥α，n⊥β
C
根据今天所学，回答下列问题：
（1）证明面面垂直有哪些方法？
（2）空间中的线、面垂直关系是如何转化的？

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