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第六章 立体几何初步
6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1.掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.
2.能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积，熟悉柱体与锥体、台体之间的转换关系.
回顾：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
正方体和长方体的展开图的面积＝其表面积
知识点 1：圆柱、圆锥、圆台的的侧面积
问题1：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？如何计算圆柱、圆锥的侧面积？
S圆柱侧＝S长方形＝2πrl
长方形
长＝2πr
r
宽＝l
l
r
l
S圆锥侧＝S扇形＝ ＝πrl
扇形
问题2：圆台的侧面展开图是什么？如何计算圆台的侧面积？
r2
l
r1
扇环
∴S圆台侧＝S扇环＝πr2(l＋x)－πr1x
＝πr2l＋π(r2－r1)x
＝πr2l＋πr1l
＝π(r1＋r2)l.
x
根据圆台的定义可知两个底面平行，且设截去的圆锥的母线长为x，
则有 ，
练一练
1.底面半径为3，母线为5的圆锥的侧面积为( )
A.12π B.15π
C.24π D.36π
B
例1 一个圆柱形的锅炉，底面直径d＝1m，高h＝2.3m.求锅炉的表面积(精确到0.1m2).
因此锅炉的表面积约为8.8m2.
解：S＝S侧面积＋2S底面积＝πdh＋2π
＝π×1×2.3＋2π×0.25＝2.8π≈8.8(m2)，
圆柱、圆柱、圆台的表面积公式
归纳总结
圆柱的表面积公式：S圆柱表＝2πr2＋2πrl；
圆锥的表面积公式：S圆锥表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l);
圆柱的表面积公式：S圆台表＝πr12＋πr22＋π(r1＋r2)l
＝π(r12＋r22＋r1l＋r2l).
例2 圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)
解：如图，设圆台上底面周长为c cm.
∵圆环的圆心角是180°，∴c＝π·SA.
又∵c＝2π×10＝20π(cm)，∴SA＝20cm.
同理SB＝40cm，
∴AB＝SB－SA＝20(cm)，
S圆台侧＝π·(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)，
因此，圆台的侧面积为600π cm2.
知识点 2：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
讨论：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面沿着一条侧棱展开，得到什么图形？如何计算其侧面积？
S直棱柱侧＝ch
S正棱锥侧＝ ch'
S正棱台侧＝ (c1＋c2)h'
c为棱柱、棱锥的底面周长，c1，c2为棱台的上下底面周长
例3 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是 cm.求这个正三棱台的侧面积.
连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，
过点D1作AD的垂线，垂直为点E，连接D1D.
解：如图，点O1，O分别是上、下底面的中心，则O1O＝ cm.
D1
D
E
在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝ cm，
例3 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是 cm.求这个正三棱台的侧面积.
D1
D
E
∴S正三棱台侧＝
因此，三棱台的侧面积为 cm2.
练一练
2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的侧面积是( )
B
根据今天所学，回顾下列知识点：
柱体、锥体、台体的侧面积公式.

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