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第六章 立体几何初步
6.6.2 柱、锥、台的体积
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式.
2.会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积.
知识点 1：柱体、锥体的体积
问题1：长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式.
V正方体＝a3
a
V长方体＝abc
a
b
c
V圆柱＝πr2h
h
r
V柱体＝Sh(S为柱体的底面积，h为柱体的高)
问题2：如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？
V三棱锥= Sh
所得到的3个三棱锥的体积相等.
棱锥和圆锥的体积可用这个公式来计算.
练一练
1.已知一个圆柱底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为( )
A.2π B.4π C.8π D.16π
D
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥.塔高约146.6m，底面边长约230.4m.求这座金字塔的侧面积和体积.(精确到0.1)
解：如图，AC为高，BC为底面的边心距，
则AC＝146.6m，BC＝115.2m，底面周长c＝(4×230.4)m.
S侧面积＝
＝
V＝ S底·AC＝
因此，金字塔的侧面积约为85914.9m2，体积约为2594046.0m3.
知识点 2：台体的体积
思考：根据台体的特征，如何求台体的体积？
由于棱台(圆台)是由棱锥(圆锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到棱台(圆台)的体积公式.
如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的高为h，
四边形ABCD面积为S下，四边形A'B'C'D'面积为S上，
设四棱锥P-A'B'C'D'的高为h'，
S上
S下
S上
S下
∴V台＝VP-ABCD－VP-A'B'C'D'
＝ S下(h＋h')－ S上h'
＝ S下h＋ (S下－S上)h'
＝ S下h＋ (S下－S上)·
S下－
S上
S上
S上S下
＝ (S上＋S下＋ S上 · S下 )h.
台体的体积公式
由P-A'B'C'D'与P-ABCD相似得
S上
S下
S上
S下
S上
S下－
S上
S上
S上S下
交流讨论：柱体、锥体、台体的体积之间有什么关系？
上底扩大
S上＝S
S下＝S
上底缩小
S上＝0
S下＝S
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm.求其体积.
因此正四棱台的体积为112cm3.
解：V＝ (S上＋S下＋ S上 · S下 )h
＝
＝112(cm3)，
练一练
2.已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为( )
D
根据今天所学，回顾下列知识点：
柱体、锥体、台体的体积公式.
柱
锥
台

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