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第六章 立体几何初步
6.6.3 球的表面积和体积
1.理解球的有关概念.
2.掌握球的表面积和体积公式并能解决与球有关的组合体的相关计算问题.
知识点 1：球的相关概念
问题1：球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
问题2：一条直线与圆相交，在圆内的部分是弦.把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面是什么？
圆面.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；
球面被不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.
球的截面的性质：
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；
（2）截面半径r与球的半径R和球心到截面的距离d有下面的关系：
与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.
思考交流：过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点P，可以作球的无数条切线.那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？
解：设过点P的直线与球O相切于点A，则平面POA与球面的交线是球的大圆(如图)，
由直线与圆相切的性质可得OA⊥AP，∴
∵点P到球心O的距离PO为定值，∴AP是定值，
P
A
O
∴过球外一点的所有切线的切线长都相等，
所有切点组成一个圆.
过球外一点P，可以作球的无数条切线.那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？
练一练
1.设球的半径为R，则过球面上任意两点的截面圆中，最大面积是 ；
过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面则这个截面圆的半径是 .
πR2
知识点 2：球的表面积和体积
球的表面积和体积可用下面的公式来计算：
S球面＝4πR2，V球＝ (其中R为球的半径)
例1 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？(假设冰激凌融化前后体积不变)
V圆锥＝
∴V半球＜V圆锥，
解：∵V半球＝
∴冰激凌融化了，不会溢出杯子.
例2 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm.求钢球的半径.
解得R＝1.5，
解：如图，设钢球半径为R cm，
根据题意，得
所以钢球的半径为1.5cm.
练一练
2.若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的( )
A.3倍 B.9倍 C.27倍 D. 倍
3.若一个球的体积为 ，则它的表面积为 .
D
12π
（1）已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积.
（2）已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.
归纳总结
根据今天所学，回答下列问题：
（1）球的截面有哪些性质？
（2）球的表面积和体积公式是什么？

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