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(共21张PPT)
第27章 圆
27.1.2 圆的对称性
第2课时
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题
问题 1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现
了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
1
垂径定理及其推论
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
O
O
O
归纳：圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
问题 2：已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AA'是弦，且CD⊥AA'，
垂足为M.求证：CD是AA'的垂直平分线.
·
O
A
A'
D
M
C
证明：连接OA，OA'.
在△OAA'中，
∵OA=OA'，
∴△OAA'是等腰三角形.
又∵AA'垂直CD,
∴MA=MA'.
即CD是AA'的垂直平分线.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
从上面过程中我们可以知道：
从把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，
AM与A'M重合，AC和A'C,AD与A'D重合．
(
(
(
(
即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA' .
(
(
·
O
A
A'
D
M
C
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
垂直定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
·
O
A
B
C
D
E
应用格式：
如图，∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，AD=BD,AC=BC.
(
(
(
(
归纳总结：
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
思考1：反过来，如果直径平分不是直径的弦，那么该直径垂直于这条弦，
且平分这条弦所对的两条弧吗？
·
O
A
B
C
D
E
如图，如果CD平分AB .
那么我们可以证明出△AOE≌△BOE(SSS).
从而得知∠AEO=∠BEO=90°，那么就有CD⊥AB.
再由垂直定理得出CD平分AB和ACB.
(
(
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
思考2：那么平分弧的直径是不是垂直平分这条弧所对的弦？
·
O
A
B
C
D
E
那么我们可以证明出△AOE≌△BOE(SAS).
从而得知∠AEO=∠BEO=90°，
那么就有CD⊥AB.
如图，设点D为弧AB的中点，CD为圆O的直径.连接OA、OB、AB，且CD交AB于点E.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
垂直定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
注意：因为圆的两条直径是互相平分的,所以不是直径这个条件不能去掉.
归纳总结：
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
例1.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
解：连接OA，过圆心O作 OE⊥AB，垂足为E，则
·
O
A
B
E
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
圆心到弦的距离
叫做弦心距.
例2.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC= 2cm，
求半径OC的长.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设 OC = x cm，则OD = (x － 2)cm，根据勾股定理，得
x2 = 42 + ( x－2)2 ，
解得 x=5.
即半径OC的长为5cm.
∴ .
典型例题
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概念剖析
例3. 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD.
(
(
.
C
D
A
B
O
M
N
解：证明：作直径 MN⊥AB，如图.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM，（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
(
(
(
(
∴AM－CM＝BM－DM，
(
(
(
(
∴AC＝BD.
(
(
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5 cm，CD=8 cm，
则AE=（ ）
A.8 cm B.9 cm
C.7 cm D.6 cm
A
典型例题
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概念剖析
2.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，
则MN的长为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
A
典型例题
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概念剖析
3.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm， OE=6cm，则AB = cm.
16
·
O
A
B
E
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
4.如图，直径AB垂直于弦CD于点E，CD=4，AE=8，⊙O的半径长为________.
4
17
例4. 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高
(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.
典型例题
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学习目标
课堂总结
概念剖析
典型例题
当堂检测
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课堂总结
概念剖析
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，
交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.
A
B
O
C
D
∴r2 = (r-7.2)2 +18.72.
解得 r ≈ 27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.
由勾股定理，得
OD=r-7.2，AD=18.7.
设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中，AO=r，
由垂径定理，得AD = AB = 18.7 m，
典型例题
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课堂总结
概念剖析
5.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，求拱桥的半径.
解：连接OA，设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E，
O
E
D
设拱桥的半径为x m，
解得x=34.
则(x-18)2+302=x2,
即拱桥的半径为34m.
则AD=BD= AB=30 m，DE=18m.
典型例题
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概念剖析
垂直于弦的直径
垂弦定理
的推论
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.

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