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课前准备
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美丽的数学心
让我们一起走进奇妙的数学世界
11.2.3 一元一次不等式
学习目标
学习重点
1.通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程.
2.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想,体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用．
将实际问题抽象为不等式模型，用不等式解决生活中的实际问题.
情境引入
　　问题 1　在前两节课，我们讨论了如何利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题，请你回顾一下利用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤．
　　回顾　一元一次不等式解决实际问题的步骤．
数学问题
（一元一次不等式）
数学问题的解
（不等式的解集）
实际问题
（包含不等关系）
实际问题的答案
5. 验是否符合实际意义
6. 答实际问题
4.解不等式
1. 审数量关系，不等关系
2. 设未知数
3. 列不等式
例题解析
例3 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出 100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出 50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？
需要分三种情况讨论：
(1) 累计购物不超过 50 元；
(2) 累计购物超过 50 而不超过 100 元；
(3) 累计购物超过 100 元.
例3 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出 100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出 50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？
购物款 在甲商场花费 在乙商场花费
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
你能从表格中看出在哪家商场花费少吗？
(1) 当累计购物不超过 50 元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样.
购物款 在甲商场花费 在乙商场花费
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
你能从表格中看出在哪家商场花费少吗？
购物款 在甲商场花费 在乙商场花费
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
(2)当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少.
你能从表格中看出在哪家商场花费少吗？
购物款 在甲商场花费 在乙商场花费
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
(3)当累计购物超过 100 元时，两个商场都享受购物优惠，需要列不等式求解.
购物款 在甲商场花费 在乙商场花费
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
①若到甲商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100)，解得 x>150.
这就是说,累计购物超过 150 元时,到甲商场购物花费少.
购物款 在甲商场花费 在乙商场花费
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
②若到乙商场购物花费少，
则50+0.95(x-50)<100+0.9(x-100)，
解得 x<150.
这就是说，累计购物超过 100 元而不到150 元时，到乙商场购物花费少.
购物款 在甲商场花费 在乙商场花费
0< x ≤50
50< x ≤100
x >100
x
x
100+0.9(x-100)
x
50+0.95(x-50)
50+0.95(x-50)
③若 50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)，
解得 x=150.
这就是说，累计购物为 150 元时，到甲、乙两商场购物花费一样.
现在你能给出一个合理的消费方案了吗？
购物不超过 50 元和刚好是 150 元时，在两家商场购物没有区别；超过 50 元而不到 150 元时在乙商场购物花费少；超过 150 元后，在甲商场购物花费少．
巩固练习
1.某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，有两种购票方式：甲旅行社说：“老师买全票，其他人全部半价优惠.”乙旅行社说：“所有人按全票价的 6 折优惠.”已知全票价 240 元.设学生有 x 名，就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.
旅行社 老师购票费用 学生购票费用
甲 240元 120x元
乙 144元 144x元
解：①若 240+120x=144x+144，
解得 x=4，
此时两家旅行社收费一样；
②若 240+120x>144x+144，
解得 x<4，
此时乙旅行社更优惠；
③若 240+120x<144x+144，
解得 x>4，
此时甲旅行社更优惠．
2.某市打市内电话的收费标准是：每次 3 min 以内(含 3 min) 0.22元，以后每分钟 0.11 元(不足 1 min 部分按 1 min 计).小琴一天在家里给同学打了一次市内电话，所用电话费没超过 0.5 元. 她最多打了几分钟的电话？
通话时间/min 电话费/元
x ≤3
x > 3
0.22
0.22+0.11(x-3)
解：设小琴打了 x min 的电话，则有
0.22+(x-3)×0.11≤0.5，
解得 x ≤ .
由于电话计时按照分钟计时，x 应是整数，
所以 x 的最大值为 5.
答：小琴最多打了 5 min 的电话.
3.友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是 a 元/台.最近，该商店对 A 型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售.方案二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售；若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本电脑 x 台.
(1)当 x=8 时，应选择哪种方案,该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
解：(1)当 x=8 时，方案一费用：0.9a·8=7.2a(元)，
方案二费用：5a+0.8a×(8-5)=7.4a(元)．
∵a＞0，
∴7.2a＜7.4a.
∴方案一费用最少，最少费用为 7.2a 元．
解：若 x≤5，方案一每台按售价的九折销售，方案二每台按售价销售．
所以采用方案一购买合算．
购买台数 方案一 方案二
x ≤ 5
x > 5
0.9ax
0.9ax
ax
5a+0.8a(x-5)
(2)若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围.
(2)若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围.
若 x>5，方案一的费用：0.9ax 元.
方案二的费用：5a+0.8a(x-5)=0.8ax+a(元)．
由题意得 0.9ax>0.8ax＋a，
解得 x>10.
购买台数 方案一 方案二
x ≤ 5
x > 5
0.9ax
0.9ax
ax
5a+0.8a(x-5)
(2)若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围.
∴若该公司采用方案二购买更合算，x 的取值范围是 x>10 且 x 为正整数.
购买台数 方案一 方案二
x ≤ 5
x > 5
0.9ax
0.9ax
ax
5a+0.8a(x-5)
4.“绿水青山，就是金山银山”.某旅游景区为了保护环境，需购买 A，B 两种型号的垃圾处理设备共 10 台(每种型号至少买 1 台).已知每台 A 型设备日处理能力为 12 吨，每台 B 型设备日处理能力为 15 吨，购回的设备日处理能力不低于 140 吨.
(1)请你为该景区设计购买 A，B 两种设备的方案.
解：(1)设购买 A 型设备 x 台，则购买 B 型设备(10-x)台．
根据题意，得 12x+15(10-x)≥140，
解得 x≤3.
∵ x 为正整数，∴ x=1，2，3.
∴ 该景区有三种购买方案：
方案一：购买 A 型设备 1 台，B 型设备 9 台.
方案二：购买 A 型设备 2 台，B 型设备 8 台.
方案三：购买 A 型设备 3 台，B 型设备 7 台．
(2)已知每台 A 型设备价格为 3 万元，每台 B 型设备价格为 4.4 万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于 40 万元时，则按 9 折优惠,问：采用(1)设计的哪种方案，可以使购买费用最少，为什么？
解：(2)各方案购买费用分别为：
方案一：3×1+4.4×9=42.6(万元)>40万元，
实际付款：42.6×0.9=38.34(万元)；
方案二：3×2+4.4×8=41.2(万元)>40万元，
实际付款：41.2×0.9＝37.08(万元).
归纳小结
　　1. 利用不等式来解决实际问题的一般步骤是什么？其中最关键的是
哪一步？
　　审 、设、 列 、解 、验 、答．
　　2. 在方案选择问题中，我们通常需要注意哪些关键点？
　　未知数的取值；列出不等式或方程；解答实际问题．
检验
设未知数
列不等式
数学问题
(一元一次不等式)
实际问题
(包含不等关系)
数学问题的解
(不等式的解集)
实际问题的答案
解不等式
课外作业
1. 教材P136 习题11.2 第5, 6, 7, 8题；
2.完成练习册本课时的习题.

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