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第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
课时2 变形后用加减消元法解二元一次方程组
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 变形后用加减消元法解二元一次方程组
7. 课堂小结
8. 当堂小练
CONTENTS
3. 新课导入
5. 知识点2 选择适当的方法解二元一次方程组
10. 拓展与延伸
9. 对接中考
2. 知识回顾
6. 知识点3 加减消元法解一元二次方程组的简单应用2
1. 用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组.
2. 如何灵活运用加减消元法.
3. 能选择适当的方法解二元一次方程组.
学习目标
知识回顾
定义
当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.
步骤
(1) 加减 (2) 求解 (3) 回代 (4) 写解.
加减
消元法
新课导入
不可以，因为这两个方程中没有一个未知数的系数相反或相等.
用加减消元法解下列二元一次方程组
直接加减是否可以？为什么？
可以找系数的最小公倍数.
怎样对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相等？
新课讲解
知识点1 变形后用加减消元法解二元一次方程组
1. 加减法解方程组
解：①×2，得 . ③
+③，得 ，
解得 .
把代入①，得 ，
解得 .
所以这个方程组的解是
例
两个方程中，当某一未知数的系数的绝对值成倍数关系时，把系数绝对值较小的方程的两边同时乘以该倍数，然后再加减消元 .
方法总结
分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元.观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数，就可以用加减法求解了.
新课讲解
2. 用加减法解方程组：
方法点拨：方程①和②中同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，应取系数的绝对值的最小公倍数 6，可以先消去 x，也可以先消去 y.
例
解：① × 3，得 6x+9y=9. ③
② × 2，得 6x+4y=22. ④
③ －④，得 5y=－13，
解得 y=－ .
把 y=－ 代入①，得 2x－ =3，
解得 x= .
∴ 这个方程组的解为
新课讲解
练一练
1. 用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中消元正确的是( )
A. ① ×5+ ② ×3， 消去 x
B. ① ×2+ ②，消去 y
C. ① ×3- ②，消去 y
D. ① ×3- ② ×5， 消去 x
B
新课讲解
练一练
2. 用加减法解方程组：
解： ①×2，得 8x+6y=152.③
②×3，得 9x+6y=168.④
④-③，得 x=16.
把x=16代入①，得4×16+3y=76，
解得 y=4.
所以这个方程组的解为
新课讲解
练一练
3. 解方程组：
新课讲解
加减法求二元一次方程组的技巧：同一未知数
系数
相等或
相反
两式相加/减
找最小公倍数，系数
变相同或相反
否
是
新课讲解
两方程中同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，利用等式的基本性质对方程进行变形，使得未知数的系数相等或互为相反数.
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
①变形
根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数.
两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.
②加减
③求解
解消元后的一元一次方程.
④回代
把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中.
⑤写解
把两个未知数的值用大括号联立起来.
新课讲解
易错点
用加减消元法解方程组时，漏乘常数项.
解方程组：
解： ① × 2，得 8x－6y=2. ③
② × 3，得 9x－6y=－3. ④
③ - ④，得 －x=5，
解 得 x=－5.
把 x=－5 代 入 ①， 得 4×(－ 5) －3y=1，
解得 y=－7.
∴ 这个方程组的解是
诊误区：
将两个方程中相同字母的系数转化为相等或互为相反数的根据是等式的性质，等式两边在乘以同一个数时，所有的项都要乘，不能漏乘 .
诊误区
新课讲解
知识点2 选择适当的方法解二元一次方程组
代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同.我们应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法.
新课讲解
怎样解下面的方程组？
第一个方程组选择哪种方法更简便？第二个方程组选择哪种方法更简便？
我们依据什么来选择更简便的方法？
新课讲解
所以这个方程组的解是
把 x=-1代入③，得 y=3.5.
把③代入②，得 0.8x+0.6(1.5-2x)=1.3.
解：由①，得 y=1.5-2x.③
解这个方程，得 x=-1.
选择代入法
选择加减法
解：①+②，得 4x=8，
解这个方程，得x=2，
把 x=2 代入①，得 2+2y=3，
解这个方程得， y= ，
所以这个方程组的解是
新课讲解
选用二元一次方程组的解法的策略
当方程组中某一个未知数的系数是1（或-1）时，优先考虑代入法；
当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减法较简单；
当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数都比较复杂时，往往选用加减法.
归纳
新课讲解
【变式1】解方程组：
解：由① + ②，得 4(x+y)=36
∴ x+y=9 ③
由① - ②，得 6(x-y)=24
∴ x-y=4 ④
解由③④组成的方程组
解得
【方法总结】整体代入法（换元法）是数学中的重要方法之一，这种方法往往能使运算更简便．
新课讲解
【变式2】解方程组：
①
②
解：①+②，得 16x+16y=80，即 x+y=5.③
①-②，得 2x-2y=-2，即 x-y=-1.④
③+④，得 2x=4，即 x=2.
把 x=2 代入③，得 y=3.
所以这个方程组的解是
系数轮换型二元一次方程组的解法
对于形如 ，的系数轮换型方程组，可通过将两个方程分别相加、相减，得到系数简单的新方程组 ，解新方程组即可.
方法总结
新课讲解
【变式3】解方程组：
①
②
解：设 ，
则 x=5k，y=2k，
将 x=5k，y=2k 代入②，得 15k-4k=22，
解得 k=2.
所以 x=5k=10，y=2k=4，
所以这个方程组的解是
设参数法
当方程组中含有形如 (a，b 为常数，且a≠0，b≠0)的方程时，可以引入参数 k，用含 k 的式子分别表示 x，y，再代入另一个方程得到关于 k 的一元一次方程，解此方程求出 k 的值后，即可得到方程组的解.
方法总结
新课讲解
【变式4】已知关于 x，y 的方程组 与 的解相同，求 a，b 的值.
解：∵两个方程组的解相同，
∴ 方程组 的解与已知的两个方程组的解相同.
解这个方程组，得
把 代入方程组
解得
已知两个方程组同解，求字母常数的值的方法
第一步：将不含字母常数的两个方程联立组成方程组，求出该方程组的解；
第二步：将方程组的解代入含字母常数的方程，得到关于字母常数的方程(组)，即可求出字母常数的值.
方法总结
新课讲解
【变式5】在解方程组 时，小明把方程①抄错了，得到的错解是 而小亮把方程②抄错了，得到的错解是 试求 a+b 的值，并求原方程组的解 .
解： 将 代入②，得 b+7a=19，③
将代入①，得 －2a+4b=16，④
联立③④得
解得∴ a+b=7.
则原方程组为解得.
方程组错解问题的解法
1. 方程组的解适合方程组中的任意一个方程；
2. 看错某一个方程的系数得到的方程组的解，适合原方程组中另一个没有看错系数的方程；
3. 将解代入恰当的方程中，构造关于字母系数的方程(组)，通过解方程(组)可解决问题 .
方法总结
新课讲解
知识点3加减消元法解一元二次方程组的简单应用2
3. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
今有牛五、羊二，直金十两：牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？
意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？
解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两.
根据问题中的相等关系，
列得方程组
①×2，得10x+4y=20. ③
②×5，得10x+25y=40. ④
④-③，得21y=20.
解得 y=.
把y=代入①，得x=.
所以这个方程组的解为
例
新课讲解
例
4. 某车间需加工某种零件 500 个，若用 2 台自动化车床和 6 台普通车床加工一天，则还剩 10 个零件没加工；若用 3 台自动化车床和 5 台普通车床加工一天，则可以超额完成 15 个零件.一台自动化车床和一台普通车床一天加工的零件数分别为多少？
3台自动化车床一天加工数+5台普通车床一天加工数＝500+15(个).
等量关系：
2台自动化车床一天加工数+6台普通车床一天加工数＝500-10(个)；
解：设一台自动化车床一天加工零件 x 个，一台普通车床一天加工零件 y 个.
根据题意，得
①×3，得 6x+18y=1 470，③
②×2，得 6x+10y=1 030，④
③-④，得 8y=440，解得 y=55.
将 y=55 代入①可得 2x+6×55=500-10，
解得 x=80.
因此这个方程组的解为
答：一台自动化车床一天加工零件 80 个，一台普通车床一天加工零件 55 个.
新课讲解
练一练
1. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足. 问鸡兔各几何.”
你能用二元一次方程组表示问题中的数量关系吗？
解：设鸡有x只，兔有y只.
由题意得
②-①×2，得2y=24，
解得 y=12.
把y=12代入①，得x+12=35，
解得 x=23.
所以这个方程组的解为
答：鸡有23只，兔有12只.
新课讲解
练一练
解：设每辆甲种车一次可运土x m3 ，
每辆乙种车一次可运土y m3.
根据题意，得
①×2得，10x+4y=128 , ③
③ -②得， 7x=56.
解得 x=8.
1. 在某路段建设工程中，有甲、乙两种车辆参与土方运输.已知5辆甲种车和2辆乙种车一次可运土64 m3；3辆甲种车和4辆乙种车一次可运土72 m3.甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米
把x=8代入①得，40+2y=64，
解得 y=12.
解得
答：每辆甲种车一次可运土8 m3 ，
每辆乙种车一次可运土12 m3.
课堂小结
定义
步骤
(1)变形(2)加减(3)求解(4)回代(5)写解.
加减
消元法
当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.
应用
选择合适的解二元一次方程组的方法解决实际问题
当堂小练
1. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法可以消去未知数 m 的是(　　)
A. ① × 6+ ② × 5 B. ① × 3- ② × 7
C. ① × 7+ ② × 3 D. ① × 7- ② × 3
D
当堂小练
2. 用加减法解方程组：(1) (2)
解：(1) ①+②×3，得10x=50，
解得 x=5.
把x=5代入②，得2×5+y=13，
解得 y=3.
所以这个方程组的解是
(2) ①×2-②，得15x=30，
解得 x=2.
把x=2代入②，得y=1.
所以这个方程组的解为
当堂小练
3. 用加减法解方程组：
解：①×3②×2，得11x=22，
解得 x=2.
把x=2代入①，得5×22y=4，
解得 y=3.
所以这个方程组的解为
当堂小练
4. 以 二 元 一 次 方 程 组的解为坐标的点(x， y)在平面直角坐标系的（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
当堂小练
5. 已知式子 ax+by，当 x=5， y=2 时，它的值为 7；当 x=8， y=5 时，它的值为4，则 a=_____ ， b= _____.
6. 若(2x+y－5) 2+ =0，则 x－y的值是_____ .
3
－4
9
当堂小练
7. [新考法 新定义运算法] 对于实数 x， y，定义新运算： x*y=ax+by－1，其中 a，b 为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，如：3*2=3a+2b－1. 若 2*3=6，3*(－1) =4，则 1*(－2) = _________.
－1
当堂小练
8. 已知关于 x， y 的方程组 的解也是方程3x+2y=17 的解， 求 m 的值 .
解析： 将待定字母 m 看作已知数，求出方程组的解，然后将方程组的解代入二元一次方程中，转化成以 m 为未知数的一元一次方程，即可求出 m 的值 .
解：方法一：
① - ②，得 3y=－6m，
解得 y=－2m.
把 y=－2m 代入①，得 x－4m=3m，
解得 x=7m.
把 x=7m， y=－2m 代入 3x+2y=17，
得 21m－4m=17，
解得 m=1.
方法二：
① × 3- ②，得 2x+7y=0.
2x+7y=0 与 3x+2y=17 联立得 2x+7y=0，3x+2y=17，
解这个方程组，得
把 代入①，得 7－4=3m，
解得 m=1.
当堂小练
“殊途”何以“同归”：
解方程组的消元策略很多，这主要是由解方程组时的消元策 略 的 多 样 性 造 成的 . 例如，在解此题时，可以把 m 当成已知数，首先用含 m 的整式表示 x， y，然后把 x， y 代 入 3x+2y=17中，得到一个关于 m的一元一次方程， 再解 这 个 方 程； 也 可以先在方程组中消去m，得到一个关于 x，y 的二元一次方程，再将这个方程与方程3x+2y=17 组 成 一 个 新的方程组，解这个方程组求出 x， y 的值，最后求 m 的值 .
方法总结
当堂小练
9. 小明和小丽两人相距8km，小明骑自行车，小丽步行，两人同时出发相向而行，经过0.5h相遇；若两人同时出发同向而行，经过1 h小明追上小丽.求小明骑行的平均速度和小丽步行的平均速度.
解：设小明骑行的平均速度为x km/h，小丽步行的平均速度为y km/h.
根据题意，得
解得
答：小明骑行的平均速度为12 km/h，小丽步行的平均速度为4 km/h.
当堂小练
10. 周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子.已知鲈鱼每千克35元，茄子每千克6元，王芳买的茄子比鲈鱼多0.5kg，共花费44元.她买了鲈鱼和茄子各多少千克？
解：设王芳买了鲈鱼x千克，茄子y千克.
依题意得
解得
答：王芳买了鲈鱼1千克，茄子1.5千克.
对接中考
1. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列操作中无法消元的是( )
A.①×2② B.②×(3)①
C.①×(2) +② D.①②×3
D
对接中考
2. 方程组 的解为 ．
解：①×3，得 9x+3y＝15. ③
③-②，得8x＝8，
解得 x＝1.
把x＝1代入①，得 3+y＝5，
解得 y＝2．
所以这个方程组的解是
拓展与延伸
1. 若关于 x， y 的二元一次方程组 的解互为相反数，求 k 的值 .
解： ① - ② × 2，得 －y=－3k－5，
解得 y=3k+5.
把 y=3k+5 代入①，
解得 x=－4k－9.
因为方程组的解互为相反数，
所以 3k+5+(－4k－9) =0，
解得 k=－4.
求二元一次方程组中的字母系数的一 般步骤
1. 把字母系数看成已知数并解方程组；
2. 根据方程组的解满足的条件，得到关于字母系数的方程；
3. 解 方 程 求 得 字 母系数的值 .
方法总结
拓展与延伸
2 . [新考法 同解交换法] 若 方 程 组与 有公共解，求 a， b 的值 .

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