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第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
课时1 和差倍分、数字与配套问题
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 列方程组解决和差倍分问题
7. 课堂小结
8. 当堂小练
CONTENTS
3. 新课导入
5. 知识点2 列方程组解决数字问题
10. 拓展与延伸
9. 对接中考
2. 知识回顾
6. 知识点3 列方程组解决配套问题
1. 能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题.
2. 掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤.
3. 学会利用二元一次方程组解决和差倍分、数字与配套问题.
学习目标
知识回顾
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
变形
加减
求解
回代
写解
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
变形
代入
求解
回代
写解
解二元一次方程组的方法有哪些？
代入消元法和加减消元法.
新课导入
前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些实际问题. 本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题. 同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流.
新课讲解
知识点1 列方程组解决和差倍分问题
【探究】养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20 kg，每只小牛1天约需饲料7~8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？
【问题1】题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量：每头大牛1天需用的饲料；每头小牛1天需用的饲料.
【问题2】题中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675；
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940.
设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为和.
新课讲解
解：设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
答：每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.
+ = 675
+ = 940
30x
15y
42x
20y
x= ,
解方程组：
y= .
20
5
直接消元：
①×4，得 120x+60y=2 700.③
②×3，得 126x+60y=2 820.④
④-③，得 6x=120，解得 x=20.
把 x=20 代入①，得 30×20+15y=675，
解得 y=5.
所以这个方程组的解是
现化简再消元：
方程组可化简为
由③，得 y=45-2x.⑤
把⑤代入④，得 21x+10(45-2x)=470，
解得 x=20.
把 x=20 代入③，得 2×20+y=45，
解得 y=5.
所以这个方程组的解是
①
②
新课讲解
找等量关系的方法
1. 抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；
2. 根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
3. 挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
4. 借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系.
归纳
新课讲解
【剧情发展】随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：
+ = 42,
+ = 20.
8x
5y
4x
2y
解得：
x = 4
y = 2
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
等量关系：甲种饲养员负责的大牛数+乙种饲养员负责的大牛数=42 (头)；
甲种饲养员负责的小牛数+乙种饲养员负责的小牛数=20 (头).
新课讲解
和、差、倍、分问题的求解策略
列方程组解决和、差、倍、分问题时，要抓住题目中反映数量关系的关键字（词）：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等. 列方程时，要明确这些关键字(词)的含义，寻找等量关系，设出合适的未知数.
归纳
新课讲解
例
解：设现在父亲是x岁，儿子是y岁.
根据题意，得
解得
答：现在父亲是30岁，儿子是6岁.
1. 现在父亲的年龄是儿子年龄的5倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则现在父亲和儿子的年龄各是多少.
新课讲解
例
2. 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场？平几场？
分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11；
胜场得分+平场得分=27.
胜场 平场 合计
场数
得分
x
3x
y
y
11
27
解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得
解得：
8
y
3x
y
3
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.
x
新课讲解
练一练
1. 某爱心社给甲、乙两所学校捐赠图书，已知捐给甲校的图书数量与捐给乙校的图书数量之比为3：2，且捐给甲校的图书数量比捐给乙校的2倍少700本，求捐给甲、乙两所学校的图书分别是多少本.
解：设捐给甲校的图书是x本，捐给乙校的图书是y本.
依题意，得
解得
答：捐给甲校的图书是2 100本，捐给乙校的图书是1 400本.
新课讲解
练一练
2. 今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？
题目大意：5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？
解：设每头牛值“金”x两，每只羊值“金”y两，由题意，得
解得
答：羊值“金” 两，牛值“金” 两.
新课讲解
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用_______表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用____________或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
归纳
数量关系
字母
2
代入消元法
加减消元法
新课讲解
知识点2 列方程组解决数字问题
例
3. 有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和个位数字组成的两位数（原个位数字仍作为个位数字）小 3，求原三位数.
等量关系：将最左边的数字移到最右边后得到的数=原数- 45.
9 ×原百位数字=由原十位数字和个位数字组成的两位数-3.
解这个方程组，得
所以原三位数为 4×100+39=439.
答：原三位数为 439.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成的两位数为 y.
根据题意，得
新课讲解
数字问题的求解策略
1. 列方程组解决数字问题的关键在于正确地用式子表示一个多位数，如一个三位数的百位上的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c.
2. 利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数.
归纳
新课讲解
练一练
1. 一个两位数的十位数字与个位数字的和是 8，把这个两位数加上 18 ，结果恰好等于这个两位数数字对调后组成的两位数，则这个两位数是______.
35
新课讲解
练一练
2. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，若这个两位数加上9，所得的两位数的数字顺序与原来两位数的数字顺序恰好颠倒，求原两位数.
新课讲解
知识点3 列方程组解决配套问题
产品类型 所需人数 生产总量
螺钉 x
螺母 y
2 000y
4. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺钉或 2 000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
螺母总产量是
螺钉的2倍
人数和为22
1 200x
解：设安排 x 人生产螺钉，y 人生产螺母.
依题意，可列方程组
解方程组，得
答：安排生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
例
新课讲解
例
5. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m 的某种布料可做衣身3 个或衣袖5 只，现计划用132 m 这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
方法提示：紧扣配套规则列方程，如本题衣身与衣袖(恰好配套)的数量比是1 ∶ 2.
解：设用x m 布料做衣身，用y m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，得 解得
答：用60 m 布料做衣身，用72 m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
1. 服装生产车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）.已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设 名工人缝制上衣， 名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是 ( )
新课讲解
练一练
D
A. B.
C. D.
新课讲解
练一练
2. 用铝合金材料制作窗架，每根材料可以做竖柱 5 根或者横梁 8 根，而且只能做其中的一种，2 根竖柱和 3 根横梁可以做成一个窗架.现有 310 根铝合金材料，用多少根做竖柱，多少根做横梁，才能使做成的窗架最多？
解：设用 x 根铝合金材料做竖柱、y 根铝合金材料做横梁，才能使做成的窗架最多.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：用 160 根铝合金材料做竖柱、150 根铝合金材料做横梁，才能使做成的窗架最多.
新课讲解
配套问题中隐含的等量关系
如果 a 件甲产品和 b 件乙产品配成一套，
则 ，即 b×甲产品的件数=a×乙产品的件数.
归纳
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系.
设：恰当地设未知数.
列：依据题中的等量关系列出方程组.
解：解方程组，求出未知数的值.
验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义.
答：写出答.
当堂小练
1. 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯.A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元.1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，
根据题意得
解得
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是7元.
当堂小练
2. 学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅。第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费 151元；第二次买了 4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费 178 元.每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元
解：设每套《西游记》的价格为x元，每套《水浒传》的价格为y元，
依题意得
解得
答：每套《西游记》的价格为29元，每套《水浒传》的价格为31元.
当堂小练
3. 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7 020元上升为8 520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元/t上调为300元/t. 建筑垃圾清运费由150 元/t上调为 180 元/t.这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨
解：设这家公司去年的餐厨垃圾有x吨，建筑垃圾有y吨.
依题意得
解得
答：这家公司去年的餐厨垃圾有8吨，建筑垃圾有34吨.
当堂小练
4. 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”
乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”
请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？
分析：本问题涉及的等量关系有：总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.
起步价 超过3km后的费用 合计费用
甲
乙
x
x
（11-3）y
17
35
（23-3）y
解：设出租车的起步价是x元，超过3km后每千米收费y元.
根据等量关系，得
解这个方程组，得
答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.
当堂小练
5. 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 3 ，且十位上的数字与个位 上的数字之和为 15，则这个两位数是_________ .
69
当堂小练
6. 有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少？
解：设甲数是，乙数是.则
解得
答：甲数为10，乙数为 .
7. 父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，则儿子出生时，父亲的年龄是( )
当堂小练
A
A. 30岁 B. 27岁 C. 26岁 D. 25岁
当堂小练
8. 某车间有 90 名工人，每人每天平均能生产螺栓 15 个或螺帽 24 个，已知一个螺栓配套两个螺帽，为使生产的螺栓和螺帽刚好配套，生产螺帽和生产螺栓的人数分别为( )
A．50人，40人 B．30人，60人
C．40人，50人 D．60人，30人
A
设生产螺帽人数x人，
螺栓人数y人
当堂小练
9. 运动会上，七(1)班男、女生分别佩戴了白、红颜色的太阳帽，小明为七(1)班的一名男生，小红为七(1)班的一名女生.小明对小红说：“我看到白色的帽子比红色的帽子多5个. ”小红对小明说：“我看到红色的帽子是白色帽子数量的 .”根据以上对话，你能推算出七(1)班男、女生各有多少人吗？
解：设七(1)班男生有 x 人，女生有 y 人.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：七(1)班男生有 28 人，女生有 22 人.
易错警示：
易认为小明看到的白色帽子数=男生人数，小红看到的红色帽子数=女生人数致错
当堂小练
解：设每天安排名工人加工大齿轮，每天安排 名工人加工小齿轮，
根据题意，得
解得
答：每天安排18名工人加工大齿轮，才能刚好配套.
10. 某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则每天安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？
对接中考
1. 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14 张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面. 已知每张卡纸可以裁出2 个侧面，或者裁出3 个底面， 如果1 个侧面和2 个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A.6 B.8 C.12 D.16
C
2. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为____尺.
对接中考
15
①可以裁剪出圆形底面共__________个（用含 的代数式表示），侧面共_________个（用含 ， 的代数式表示）.
拓展与延伸
某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了 块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有 ， ， 三种裁剪方式，如图， 方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面. 方式：裁剪成3个侧面. 方式：裁剪成9个圆形底面.已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套.现已有2块金属板材按 方式裁剪，其余都按 ， 两种方式裁剪.
（1）设有 块金属板材按 方式裁剪， 块金属板材按 方式裁剪.
②当 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
解：根据题意得
解得
.
答：当 时，最多能加工36个圆柱形茶叶盒.
拓展与延伸
某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了 块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有 ， ， 三种裁剪方式，如图， 方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面. 方式：裁剪成3个侧面. 方式：裁剪成9个圆形底面.已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套.现已有2块金属板材按 方式裁剪，其余都按 ， 两种方式裁剪.
40或45或50
（2）现将 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的圆形底面与侧面恰好配套，则 的值可以是____________（其中）.
【解析】根据题意得 ， .
，均为整数，且, 是3的倍数. 的值可取21,24,27，
当时， ； 当时， ；
当时， . 综上， 的值可以是40或45或50.

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