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第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
课时2 几何图形、图文信息与工程问题
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 列方程组解决几何图形问题
7. 课堂小结
8. 当堂小练
CONTENTS
3. 新课导入
5. 知识点2 列方程组解决图文与信息问题
10. 拓展与延伸
9. 对接中考
2. 知识回顾
6. 知识点3 列方程组解决工程问题
1. 能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决稍复杂的实际问题.
2. 学会利用二元一次方程组解决几何图形、图文信息与工程问题.
3. 通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型，发展模型观念.
学习目标
知识回顾
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的__________；
(2)设元：用______表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
新课导入
把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
把长方形纸片折成面积之比为1:2的两个小长方形，有哪些折法？
新课讲解
知识点1 列方程组解决几何图形问题
【探究】据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2. 现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4 ？
转换成数学语言：
A
D
C
B
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4
新课讲解
分
析
1. 竖着画，把长分成两段，则宽不变
2. 横着画，把宽分成两段，则长不变
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
A
D
C
B
竖着画，把长分成两段，则宽不变.
等量关系有哪些？
1.大长方形的长=200 m.
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4.
A
D
C
F
B
E
x
y
200 m
100 m
如何设未知数呢？
甲种作物
乙种
作物
100x
100y
200y是如何得到的？
解：如图，在AB上一点 E 作 EF⊥AB，交 CD 于点 F.
设 AE＝x m，BE＝y m. 根据题意，得
解得
答：将这块土地分为长 120 m，宽 100 m 和长 100 m，宽 80 m 的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
新课讲解
分
析
1. 竖着画，把长分成两段，则宽不变
2. 横着画，把宽分成两段，则长不变
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
A
D
C
B
横着画，把宽分成两段，则长不变.
等量关系有哪些？
1.大长方形的宽=100 m.
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4.
100 m
甲种作物
乙种作物
200x
200y
A
D
C
F
B
E
200 m
x
y
400y是如何得到的？
如何设未知数呢？
解：如图，过点AD上一点 E 作 EF⊥AD，交 BC 于点 F.
设 DE＝x m，AE＝y m. 根据题意，
得 解得
答：将这块土地分为长 200 m，宽 60 m 和长 200 m，宽 40 m 的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
新课讲解
例
1. 如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 （单位：cm）
60
解：设小长方形地砖的长为x，宽为y. 由题意，得
解此方程组得：
答：小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.
新课讲解
练一练
1. 如图，在长方形 ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为( )
A．44 cm2
B．36 cm2
C．96 cm2
D．84 cm2
14×(8+2)-6×8×2=44(cm2)．
x
y
x+y
x+3y=14
x+y-2y=6
A
新课讲解
练一练
2. 小敏和小红玩拼图游戏，小敏用8个同样的小长方形拼成了一个如图 (1)所示的大长方形，小红用同样的8个小长方形拼成了如图 (2)所示的大正方形，不过中间留下一个空白，而这个空白地方恰好是一个边长为2cm的小正方形.求小长方形的长与宽.
设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm
分别用x，y表示大长方形的长及大正方形的边长
构造关于x，y的方程组
分析：
x
y
3x
5y
x+2y
解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm.
依题意，得
解得
答：小长方形的长为10cm、宽为6cm.
另解：由图 (2)可得等量关系“长+2=2×宽”
得：x+2=2y.
他卖完这些黄瓜和茄子共赚了_____元.
新课讲解
知识点2 列方程组解决图文与信息问题
品名 黄瓜 茄子
批发价/（元/千克） 5 3
零售价/（元/千克） 7 4
100
2. 一天，蔬菜经营户王叔叔花270元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共70千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表：
例
解：设批发了黄瓜千克，茄子 千克，由题意得
解得
（元）.
新课讲解
A. Ⅰ，Ⅱ都对 B. Ⅰ对，Ⅱ不对
C. Ⅰ不对，Ⅱ对 D. Ⅰ，Ⅱ都不对
3. 如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数.有以下两个结论，结论Ⅰ：若 的值为3，则 的值为4；结论Ⅱ：不论 ， 取何值， 的值一定为3.下列判断正确的是( )
例
解：结论Ⅰ：若的值为3，则 ， . 解得
结论Ⅱ： 由，得 . ， .
. 的值为定值2，故Ⅱ不正确.
D
新课讲解
1. 如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式. 为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x，y各应取什么值？
2x 3 2
x+2y -3
4y
解：根据各行，各列及对角线上三个数之和都相等，
得
解得
答：x取值为1，y取值为1.
练一练
新课讲解
练一练
小杰
小明
小丽
2. 课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上 区域所得分值和 区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分.
解：设区域每次中镖得分，区域每次中镖得 分，
由题意得 解得 .
小丽的5次飞镖总分为37分.
新课讲解
知识点3 列方程组解决工程问题
例
4. 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4 000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成.
(1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：
x表示______________________，y表示______________________ ；
并写出该方程组中△处的数应是________， 处的数应是________.
甲、乙工作效率
工作时间
工作总量
甲队修建的时间
乙队修建的时间
18
4 000
新课讲解
例
4. 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4 000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成.
(2)陈彬同学的思路是设甲工程队一共修建了a米公路，乙工程队一共修建了b米公路.请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天.
解：(2)根据题意，得
解得
∴8(天)
答：乙队修建了8天.
新课讲解
例
5. 一项 200 km 的引水工程交给了甲、乙两个施工队，工期为 50 天.甲、乙两队合作了 30 天后，乙队因另有任务离开 10 天，于是甲队加快速度，每天多修 0.6 km，10 天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修 0.4 km，最后如期完成.问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米
解：设甲队原计划每天修 x km，乙队原计划每天修 y km，根据题意，
得
解这个方程组，得
答：甲队原计划每天修 2.4 km，乙队原计划每天修 1.6 km.
新课讲解
工程问题中的数量关系
工作量=工作效率×工作时间；
合作的效率=各部分单独做的效率和；
总工作量=各部分工作量之和.
当工作总量未给出具体数值时，常将工作总量看作单位“1”.
归纳
新课讲解
练一练
1. 一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成.按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务.乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？
解：设 乙、丙两队合作做了x天，甲队加入后又做了y天.
根据题意，得
解得
答：乙、丙两队合作做了4天，甲队加入后又做了2天.
乙、丙合作x天
甲加入y天
“1”
新课讲解
练一练
2. 甲、乙二人加工同一种零件.两个人1h 共可以加工 70 个零件，甲做 2h，乙做 3 h 共可以加工 180 个零件 . 求甲、乙二人每小时各加工多少个零件 .
课堂小结
图形问题
几何图形问题的等量关系主要是几何图形中的常见公式，以及几何图形隐含的线段、角或者面积之间的和差关系.
工程问题
工程问题中的数量关系：
工作量=工作效率×工作时间；
合作的效率=各部分单独做的效率和；
总工作量=各部分工作量之和.
列二元一次方程组解决实际问题
图文与
信息问题
根据题目中的文字描述结合图形，找出图形与文字之间的联系.
当堂小练
A. B.
C. D.
1. 如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1 比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为x°，y°，那么可列方程组为( )
B
当堂小练
2. 某校举办学生书画展览，现要在长方形展厅中划出 3 个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品 . 若大长方形的长和宽分别为 45 m和 30 m，求小长方形的长和宽 .
当堂小练
3. 如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是______cm2.
解：设 小长方形的长为x cm，宽为y cm.
依题意，得
解得
所以大长方形ABCD的面积为：
14×(6+2y)=14×(6+2×2)=14×10=140(cm2).
140
x
y
y
(x-2y)
y
x
y
y
y
当堂小练
4. 在当地农业技术部门的指导下，李明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收. 如图是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话.
请你用所学过的知识帮助李明算出他家今年菠萝的收入.
解：设李明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资为y 元.
根据题意，得 解得
所以(1＋35%)x=1.35×12 000=16 200.
答：李明家今年菠萝的收入为16 200 元.
当堂小练
5. 根据以下素材，探索完成任务 .
设计奖项设置和奖品购买的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案 .
素材1 已知购买 2 盒钢笔和 1 包笔记本需要 320 元，3 盒钢笔和 2 包笔记本需要 520 元 .
素材2 学校准备出资 880 元购买钢笔和笔记本两种奖品 .
素材3 （1）1 盒钢笔有 12 支，1 包笔记本有 16 本 . （2）计划设置一等奖 a 人，二等奖 30 人，三等奖 b 人，且 a＜ 30 ＜ b. （3）一等奖：1 支钢笔和 1 本笔记本，二等奖：1 支钢笔，三等奖：1 本笔记本 .
问题解决
任务1 确定单价 求 1 盒 钢 笔 和 1 包笔记本各多少元 .
任务2 确 定 购 买数量 将880元全部用完，则有多少种购买方案？请计算说明 .
任务3 确 定 获 奖人数 任 务 2 中 购 买 的奖 品 刚 好 全 部 发完， 则 a= ____， b= ____.
18
62
当堂小练
当堂小练
6. 某地为打造运河风光带，雇用A，B两个工程队共同完成一段长为180m的河道的清理任务.已知A工程队每天清理12m，B工程队每天清理8m，两个工程队工作天数之和为20天，A，B工程队分别清理了多长的河道？
解：设 A工程队清理河道x米，B工程队清理河道y米.
根据题意，得
答：A工程队清理河道60米，B工程队清理河道120米.
解得
当堂小练
7. 某车间计划生产一批零件共418个，若甲先做2天，乙再加入合做，则再做2天可超产2个；若乙先做3天，然后两人再共同做2天，则还差8个未完成.甲、乙两人每天各做多少个零件
解：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件.
根据题意，得
解得
答：甲每天做80个零件，乙每天做50个零件.
对接中考
1. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图①就是一个幻方 . 图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是（ ）
A.9 B.10
C.11 D.12
D
对接中考
2. 用大小、形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，若 A(－1，5)，则点 B 的坐标为(　　)
A.(4， －2) B.(－ ， )
C.( －6，5) D.(－ ， )
D
拓展与延伸
1. 现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为 a，宽为 b.用 3 个如图②的全等图形和 8 个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为 30 cm，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )
A. B. C. D.
4a
3a+3b
a+3b=30
解：∵ 大长方形的宽为 30 cm，∴ a+3b=30.
根据图③可得 4a=3a+3b，
组成方程组
解得
∵ 阴影面积为3(a-b)2，整个图形的面积为 4a(a+3b)，
∴ 阴影部分面积与整个图形的面积之比为 .
D
拓展与延伸
2. 现有一段长为 180 米的河道整治任务由 A，B 两个工程队先后接力完成. A 工程队每天整治 12 米，B 工程队每天整治 8 米，共用时 20 天．
(1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出的方程组如下：
甲： 乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数 x，y 表示的意义：
甲：x 表示_________________，
y 表示_________________．
乙：x 表示___________________，
y 表示_ _________________．
A 工程队用的时间
B 工程队用的时间
A 工程队治理的米数
B 工程队治理的米数
拓展与延伸
(2)求 A，B 两工程队分别整治河道多少米．
解：选甲同学所列方程组解答如下：
2. 现有一段长为 180 米的河道整治任务由 A，B 两个工程队先后接力完成. A 工程队每天整治 12 米，B 工程队每天整治 8 米，共用时 20 天．
②-①×8，得 4x=20，解得 x=5.
所以方程组的解为
把 x=5 代入①，得 y=15，
所以12x=60， 8y=120.
答：A 工程队整治河道 60 米，B 工程队整治河道 120 米．
选乙同学所列方程组解答如下：
②×24-①×2，得 y=120，
把 y=120 代入①得 x=60，
所以方程组的解为
答：A 工程队整治河道 60 米，B 工程队整治河道 120 米.

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