资源简介

(共26张PPT)
4.2提公因式法
北师大版 (2012) 八年级下册
第四章 因式分解
学习目标
理解提公因式法的意义，能确定多项式的公因式
会用提公因式法把多项式因式分解(多项式中的字母指数仅限于正整数)，理解添括号的方法，强化运算能力
1
2
知识回顾
问题一：因式分解的概念是什么？
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
问题二：整式乘法与因式分解之间的关系是怎样的？
因式分解
整式乘法
互为逆运算
知识探究
a
c
b
如下图，两个长和宽分别是 a 和 c，b 和 c 的长方形，合并成一个较大的长方形，则这个较大的长方形的面积是多少？
方法一：b a＋c
方法二： ab＋cb
ab＋cb＝ b a＋c
观察这个等式的左边，你发现了什么？
因式分解
知识探究
ab＋cb＝ b a＋c
相同的因式 b
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
例如：3x3＋x和mb2＋nb－b的公因式分别是多少呢？
x
b
知识探究
(1)多项式 2x2＋6x3 中各项的公因式是什么？
2 x2 ＋ 6 x3
2x2
系数
最大公约数
2
字母
相同的字母
x
指数
相同字母的最低次幂
2
定系数：多项式各项系数的最大公因数；
定字母：多项式各项中都含有的相同字母；
定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
找公因式
议一议
知识探究
议一议
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？
2x2
(2)你能尝试将多项式 2x2＋6x3 因式分解？与同伴进行交流.
2x2＋6x3
把公因式“2x2”提出来试试！
＝2x2·1＋2x2·3x
＝2x2(1＋3x)
提公因式法
知识探究
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫做提公因式法.
提公因式法
2x2＋6x3＝2x2(1＋3x)
因式分解
单项式乘多项式
提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算.
典型例题
例1 把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3； (2) 7x3－21x2； (3)8a3b2－12ab3c＋ab； (4) －24x3＋12x2－28x.
分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋1) ；
(4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x)
＝ －(4x·6x3－4x·3x2＋4x·7x)
＝－4x(6x3－3x2＋7x).
解：(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2)；
(2) 7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3)；
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数称为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
知识探究
提公因式法因式分解的一般步骤
确定公因式——先定系数的最大公因数，再定字母和字母的指数；
提公因式；
确定另一个因式——用多项式的每一项除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
写成乘积的形式.
典型例题
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－3)＋2b(x－3)；(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
分析：把“x–3”“x+1”都看做一个整体进行因式分解.
解：(1)a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)·a＋(x－3)·2b＝(x－3)(a＋2b)；
(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)·1＋y(x＋1)·y(x＋1)
＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]
＝y(x＋1)(yx＋y＋1).
典型例题
例3 把下列各式因式分解：
(1)a(x－y)＋b(y－x)；
(2)6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1)a(x－y)＋b(y－x)
＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b).
(2)6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12(m－n)2
＝6(m－n)2(m－n－2).
“x－y”与“y－x”互为相反数
“m－n”与“n－m”互为相反数
注意：当多项式中的某项和公因式相同或互为相反数时，提取公因式后，该项保留的因式是 1 或 －1，而不是 0.
知识探究
做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立；
(1)2－a＝ (a－2)； (2) y－x＝ (x－y)；
(3)b＋a＝ (a＋b)； (4)(b－a)2＝ (a－b)2；
(5) －m－n＝ (m＋n)； (6)－s2＋t2＝ (s2－t2).
–
–
+
+
–
–
添括号：
如果括号前是“＋”，那么括号内的每一项都不改变符号；
如果括号前是“－”，那么括号内的每一项都改变符号.
你发现了什么规律？
知识探究
对于底数不同的多项式，乘方等式规律如下：
(1) 与互为相反数：
(a－b)n ＝ (b－a)n (n是偶数)
(a－b)n ＝ －(b－a)n (n是奇数)
(a＋b)n ＝ (b＋a)n (n是整数)
(－a－b)n ＝ (a＋b)n (n是偶数)
(－a－b)n ＝ －(a＋b)n (n是奇数)
与互为相反数：
(2) 与互为相同数：
知识探究
提公因式法因式分解的注意事项
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号；
多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项；
若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开.
当 堂 检 测
当堂检测
A
当堂检测
B
当堂检测
D
当堂检测
C
当堂检测
C
当堂检测
D
当堂检测
D
当堂检测
－12
提公因式法因式分解的一般步骤：
找公因式→提公因式→确定另一个公因式→写成积的形式.
提公因式法
公因式：
提公因式法：
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
感谢学生们的观看

展开更多......

收起↑