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(共23张PPT)
4.3公式法
北师大版 (2012) 八年级下册
第四章 因式分解
学习目标
能够正确识别适合运用公式法因式分解的多项式，会运用公式法因式分解 (指数是正整数)
掌握运用公式法因式分解的方法和步骤，并能进行相关变形、计算或求值
1
2
能够综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解
3
知识引入
填空：
（1）(x＋5)(x－5) ＝________；
（2）(3x＋y)(3x－y) ＝_________；
（3）(3m＋2n)(3m－2n) ＝____________.
它们的结果有什么共同特征？
x2－25
9x2 － y2
9m2 － 4n2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
整式乘法
知识探究
尝试将它们分别写成两个因式的乘积：
x2 － 25 ＝ ___________;
9x2 － y2 ＝ _____________;
9m2 － 4n2 ＝ _________________.
(x＋5)(x－5)
(3x＋y)(3x－y)
(3m＋2n)(3m－2n)
思考：观察这些式子有什么共同特征？
左边：是 两数的平方差的形式：
□－△
2
2
右边：是 两数之和与两数之差的积：
（□－△）（□+△）
知识探究
a b =(a+b)(a-b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(a+b)(a-b)=a b
整式乘法
因式分解
平方差公式
注意：“两个数” 指的是 a，b，而不是 a ，b ，其中 a，b 可以是单项式，也可以是多项式.如(x＋2) －4y ＝(x＋2) －(2y) ＝(x＋2＋2y)(x＋2－2y)
a
b
＝
(a
+b)
(a
-b)
典型例题
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2 － b2.
1 原式＝5 － 4x
＝ 5＋4x 5－4x
解：
a － b ＝ (a + b)(a － b)
2 原式＝(3a) － b
＝ 3a＋ b 3a－ b
a － b ＝ (a + b) (a － b )
典型例题
例2 把下列各式因式分解：
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3 －8x.
1 原式＝[3(m＋n)] － m－n
＝[3 m＋n ＋ m－n ][3 m＋n － m－n ]
解：
＝[3m＋3n＋m－n][3m＋3n－m＋n]
＝(4m＋2n)](2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n)
分解要彻底
典型例题
例2 把下列各式因式分解：
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3 －8x.
解：
2 原式＝2x3 － 8x
＝2x x －4
＝2x x－ 2 x＋2
＝2x x －2
分解要彻底
有公因式先提出来
注意：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
知识探究
计算下列各式：
(1)(x＋2)2＝_________，
(2)(2x＋1)2＝________，
(3)(x－3)2＝ __________，
(4)(3x－1)2＝ .
根据左边算式填空：
(1) x2＋4x＋4＝____________，
(2)4x2＋4x＋1＝____________，
(3) x2－6x＋9＝____________，
(4)9x2－6x＋1＝_____________.
x2＋4x＋4
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
4x2＋4x＋1
x2－6x＋9
9x2－6x＋1
(x＋2)2
(2x＋1)2
(x－3)2
(3x－1)2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
a2－2ab＋b2＝(a－b)2
整式乘法
因式分解
你有什么发现呢？
知识探究
a ±2ab+b =(a±b)
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
(a±b) =a ±2ab+b
整式乘法
因式分解
完全平方式
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
典型例题
例3 把下列完全平方式因式分解：
(1) x2＋14x＋49； (2) (m＋n)2 －6 (m＋n)＋9.
解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ；
a2
＋
2 a b
＋
b2
＝
(a＋b)2
(2)(m＋n)2-6(m＋n)＋9
＝(m＋n)2-2·(m＋n)·3＋32＝(m＋n-3)2.
a2
－
＋
b2
＝
(a - b)2
2 a b
典型例题
例4 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2； (2) －x2－4y2＋4xy.
解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；
a2
＋
2ab
＋
b2
＝
(a＋b)2
(2)-x2-4y2＋4xy＝ -(x2＋4y2-4xy)
＝-(x2-4xy＋4y2)＝-[x2-2·x·2y＋(2y)2]＝-(x-2y)2.
a2
-
＋
b2
＝
(a-b)2
2 a b
知识探究
因式分解的一般步骤
一提——看有无公因式，若有，则提取公因式；
二套——考虑是否可用公式法因式分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；
三检查——检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解
若不能直接套用公式，则可经适当变形后整理成能用公式法的形式，再进行因式分解
当 堂 检 测
当堂检测
D
当堂检测
B
当堂检测
C
当堂检测
C
当堂检测
(m－1+n)(m－1－n)
当堂检测
当堂检测
公式法
公式：
步骤：
a2-b2=(a+b)(a-b)
平方差公式
一提：提公因式；
二套：平方差公式或完全平方公式；
三检查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
a2±2ab-b2=(a±b)2
完全平方公式
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