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4.4 解直角三角形的应用
课时1 仰角、俯角问题
1.灵活运用直角三角形的各种关系，解决一些简单的实际问题.
2.了解测量中的概念，并能灵活运用相关知识解决某些实际问题.
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m 的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
．
．
A
B
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
如图，BD 表示点 B 的海拔， AE 表示点A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出 A，B 两点之间的水平距离 AC.
解：∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，
AC⊥BD， ∠BAC = 40°，
∵在Rt△ABC中，tan∠BAC=40°
∴即AC≈2264（m）
因此，Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.
如图，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°，求A、B两点之间的水平距离AC.（结果保留整数）.
例1 如图，在离上海东方明珠塔底部1000 m 的A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为25°，仪器距地面高AE为1.7 m． 求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1 m）.
分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可.
解：如图， 在Rt△ABC 中，
∠BAC ＝25°， AC ＝ 1000 m， 因此
tan25°=从而BC≈1000 × tan 25°≈466.3（m）．
因此，上海东方明珠塔的高度:BD ＝ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468（m）．
答： 上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
例2 如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，若测得飞机到目标B的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度AC约为多少米？
解：由题意得：∠B=∠α，∠C=90°．
∴sin B=sin α≈0.52．
∵sin B=，
∴AC=AB sin B=2400×0.52=1248（米）．
答：飞机飞行的高度约为1248米．
1．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）
A．800sinα米 B．800tanα米 C． 米 D． 米
D
2．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为　 　米（ ≈1.73，结果精确到0.1）．
30°
45°
a
7
33
33
24.1
3．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
x
0.73x
x
4．“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．
x
4x
82
1.6x
5．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据： ≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．
D
2.3x
2.3x
x
66.5°
45°
24
模型一
模型二
模型三
模型四
仰角、俯角问题的常见基本模型
A
D
B
E
C

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