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4.4 解直角三角形的应用
课时1 仰角、俯角问题
1. 巩固解直角三角形有关知识；
2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题.
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.问大树在折断之前高多少米？
思考：
（1）怎样将应用问题转化为数学模型？
（2）大树折断部分是直角三角形的哪条边？
（3）大树折断之前的高即为“直角三角形的直角边与斜边的和”，你认为对吗？
1.仰角、俯角的概念
如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫俯角.
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m 的山峰顶点B处的水平距离. 他能想出一个可行的办法吗？
．
．
A
B
2.与仰角、俯角有关的实际问题
如图， BD 表示点B 的海拔， AE 表示点A 的海拔， AC⊥BD， 垂足为点C.
通过仰角俯角的学习，你能把前面引入的问题转化为数学问题吗？画图说明.
先测量出海拔AE，
再测出仰角∠BAC
然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC．
∵在Rt△ABC中，
∵ BD = 3500 m， AE = 1600 m，
AC⊥BD， ∠BAC = 40°，
因此，Ａ，B两点之间的水平距离AC约为2264 m.
经测量： BD = 3500 m， AE = 1600 m，∠BAC = 40°
例1 如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面高AE为1.7m.求（结果精确到1m）.
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，
讨论：怎样把实际问题转化为数学模型？
分析：构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.本题实际上是已知一边AC及一角∠BAC，从而求BC的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系求解.
∴BC=1000×tan25°≈466.3（m）
上海东方明珠塔的高度BD=466.3+1.7=468（m）
答：上海东方明珠塔的高度BD为468m.
∴tan∠BAC=
∴tan25°=
1. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m
C．50 m D.100 m
A
2. 如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列表示旗杆CD的长的式子是( )
A．CD＝bsin 33°＋a
B．CD＝bcos 33°＋a
C．CD＝btan 33°＋a
D．CD＝b
C
3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆高度（精确到0.1m）
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=
∴AC= tan∠ADC·DC= tan54°×40≈1.38×40=55.2
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m)
答：棋杆的高度为15.2m.
解：设DB=xm，则
在Rt△ADB中，AB=xtan60°=xm，
在Rt△ACB中，=tan30°，即=，
整理得，3x=x+10，解得，x=5，则AB=5m．
故，建筑物AB的高度是5m．
4. 某中学初三年级学生开展测量物体高度实践活动，要测量一幢建筑物AB高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）
5. 某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)
解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000(米)，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000(米)，
∴AB＝BD－AD＝2000(米)．
故此时渔政船和渔船相距2000米.
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
从下向上看，
视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，
视线与水平线的夹角叫做俯角.
用解直角三角形知识解决此类问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.

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