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课时2 坡角、方位角问题
4.4 解直角三角形的应用
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题.
同学们都登过山吗？
我们在登山的时候，有的山坡登的比较轻松，有的山坡登的很吃力，这是为什么呢？
又如何用数量关系来反映坡的倾斜程度呢？
1、坡角、坡度的概念及关系
坡度的概念：如图，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长）与水平前进的距离l（即线段AC的长度）的比叫作坡度，用字母i表示，即：
坡度的表达形式：坡度通常写成1∶m的形式.
坡角：山坡与地平面的夹角叫作坡角，如图：∠BAC.
坡度i与坡角α之间的关系： ，显然坡度等于坡角的正切.
思考：坡度、坡角越大，山坡越陡吗？
例1 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2.小刚从山脚 A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点 C .这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i = 1:2
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A = 26.57°，AC = 240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α ≈ 26.57°.
从而 BC = 240×sin26.57°≈ 107.3（m）．
因此
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
2、坡度、坡角的应用
你还可以用其他方法求出BC吗？
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
3、方向角的概念
例2 如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在点A处测得灯塔C在北偏东60°方向，继续航行1h到达点B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向，已知灯塔C附近30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？
北
东
C
B
A
60°
30°
D
D
分析：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于30km.如果大于30km，则安全，否则不安全.
解:作CD⊥AB， 交AB延长线于点D．
设CD = x.
在Rt△ACD中，
4、方向角的应用
北
东
C
B
A
60°
30°
D
.
，
.
因此，该船能继续安全向东航行.
1．如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡面的_____，记作i，即i＝____(坡度通常写成_______的形式)．坡面与________的夹角叫作坡角，记作α.显然坡度等于坡角的________，即i＝______＝_________．坡度越________，山坡越陡．
坡度
1：m
水平面
tanα
正切
大
2. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )
A．26米
B．28米
C．30米
D．46米
D
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( )
A．40海里
B．40海里
C．80海里
D．40海里
C
4．如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB的长为6米，车库的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中∠ACB＝14°)．
(1)求车库的高度AH；
解：由题意可得，AH∶BH＝1∶2.
设AH＝x，则BH＝2x，
故x2＋(2x)2＝(6)2，
解得：x＝6.
故车库的高度AH为6 m；
(2)求点B与点C之间的距离．(结果精确到1米)(参考数据：sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25)
解：∵AH＝6，∴BH＝2AH＝12，
∴CH＝BC＋BH＝BC＋12.
在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝.
又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝，
∴0.25＝，解得：BC＝12，
故点B与点C之间的距离是12 m.
5.如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sin α＝，然后又沿着坡度为i＝1∶4的斜坡向上走了1千米达到点C.问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米？(结果保留根号)
解：过点B作BF⊥AD于点F，过点B作BE⊥CD于点E.
由题意得：AB＝0.65千米，BC＝1千米，
∴sin α＝＝，∴BF＝0.65×＝0.25(km)．
F
E
∵斜坡BC的坡度为：1∶4.
∴CE∶BE＝1∶4.
设CE＝x，则BE＝4x，由勾股定理得：x2＋(4x)2＝12，解得：x＝.
∴CD＝CE＋DE＝BF＋CE＝+.
故小明从A点到点C上升的高度CD是（+）km.
F
E
1.坡度：升高的高度h与水平前进的距离l的比叫作坡度，用字母i表示，即
i==tan α （坡度通常写成l：m的形式）
2.坡角：坡面与地平面的夹角α叫坡角．坡度越大，山坡越陡.
3.方位角：指北或者指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.
西
60°
东
A
南
北
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