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5.1 总数平均数与方差的估计
1.理解并掌握总体平均数与方差的概念；
2.可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差
（1）要想知道一锅汤的味道怎么办？
（2）要想知道一座矿山（铁矿）的含铁量怎么办
（3）要想知道一批炮弹的杀伤力该怎么办？
（4）合肥市17年的中考，要想估计这届学生的整体水平，应该怎样做？
阅读下面的报道，回答问题.
从报道中可以看出，北京统计局进行人口调查是采用的抽样调查的方法.
从上述报道可见， 北京市统计局进行2012 年度人口调查采用的是什么调查方式？
实际上，在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据.
从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想. 用样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体方差就是这一思想的一个体现.
样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性.
（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？
可以从某城市所有家庭中随机抽取一部分家庭，统计他们在一年内丢弃的塑料袋个数, 然后求出它们的平均值，再用这个平均值去估计该城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数.
可以进行简单随机抽样,然后用样本去推断总体.
可以从甲、乙两种棉花中各抽取一定量的棉花，分别统计它们的纤维长度的方差，再用这两个方差分别去估计这两种棉花纤维长度的整齐性，方差小的棉花品种整齐性较好.
（2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？
某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩. 如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？
为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性(即方差).于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量(样本)，数据如下表所示：
种类 每亩水稻的产量（kg） 甲 865 885 886 876 893 885 870 905 890 895
乙 870 875 884 885 886 888 882 890 895 896
这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量分别为：
x甲=（8 65 + 885 + 886 + 876 + 893 + 885 + 870 + 905 + 890 + 895）= 885，
x乙= （870 + 875 + 884 + 885 + 886 + 888 + 882 + 890 + 895 + 896）= 885.1.
由于这10亩水稻是简单随机抽取的，因此可以分别用这10亩水稻的平均产量去估计这两种水稻大面积种植后的平均产量.
种类 每亩水稻的产量（kg） 甲 865 885 886 876 893 885 870 905 890 895
乙 870 875 884 885 886 888 882 890 895 896
由于在试验区这两种水稻的平均产量相差很小，从而我们可以估计出大面积种植这两种水稻后的平均产量也相应相差很小，所以，单从平均产量这一角度来考虑，我们还不能确定哪种水稻更有推广价值.因此，我们还需考虑着两种水稻产量的稳定性.
动动手，请同学们把这两种水稻的方差算式列出来，并尝试计算！
利用计算器，我们可计算出这10 亩甲、乙品种水稻产量的方差分别为129.6，59.09. 由于59.09<129.6，即S乙 < S甲 .
因此我们可以估计种植乙种水稻的产量要比种植甲种水稻的产量稳定．
从而我们可以得出：在该地区，种植乙种水稻更有推广价值.
例 一台机床生产一种直径为40mm 的圆柱形零件，在正常生产时，生产的零件的直径的方差应不超过0.01．如果超过0.01，则机床应检修调整.下表是某日8:30—9:30及10:00—11:00 两个时段中各随机抽取10个零件量出的直径的数值(单位:mm)：
试判断在这两个时段内机床生产是否正常.
8:30 — 9:30 40 39.8 40.1 40.2 39.8 40.1 40.2 40.2 39.8 39.8
10:00 — 11:00 40 40 39.9 40 39.9 40.2 40 40.1 40 39.9
解：在8:30—9:30这段时间内生产的零件中，随机抽取的10个零件的直径的平均数、方差S 1分别为：
=（40+39.8×4+40.1×2+40.2×3）÷10=40（mm）
S 1 ==0.03
在10:00—11:00这段时间内生产的零件中，随机抽取的10个零件的直径的、方差S 2分别为：
=（40×5+39.9×3+40.2+40.1）÷10=40（mm）
S 2 ==0.008
=（40+39.8×4+40.1×2+40.2×3）÷10=40（mm）
S 1 ==0.03
=（40×5+39.9×3+40.2+40.1）÷10=40（mm）
S 2 ==0.008
由于随机抽取的8:30—9:30这段时间内生产的10个零件的直径的方差为0.03,远远超过0.01的界限,因此我们可以推断在这段时间内该机床生产不正常.
类似地，我们可以推断在10:00—11:00这段时间内该机床生产正常.
1.用样本平均值去估计总体平均值一定准确吗？请说明理由！
2.你认为减少错误发生的途径有哪些？
增大样本的容量
采用更合理的抽样方法
思考
1.从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性．下面叙述正确的是（　　）
A．样本容量越大，样本平均数就越大
B．样本容量越大，样本的方差就越大
C．样本容量越大，样本的方差就越小
D．样本容量越大，对总体的估计就越准确
D
2.为比较甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试．测试结果是两种电子钟的走时误差的平均数相同，方差分别是S甲2=6、S乙2=4.8，则走时比较稳定的是 　　．（填“甲”、“乙”中的一个）
乙
3.甲、乙两名学生的十次数学考试成绩的平均分分别是145和146，成绩的方差分别是8.5和60.5，现在要从两人中选择一人参加数学竞赛，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人平均分相当，选谁都可以
B．乙的平均分比甲高，选乙
C．乙的平均分和方差都比甲高，选乙
D．两人的平均分相当，甲的方差小，成绩比乙稳定，选甲
D
4.为了解某住宅小区居民10月份的用水情况，任意抽查了20户家庭的月用水量，结果如下：
如果该小区有300户家庭，估计该小区居民10月份的用水总量.
用水量/m3 10 12 13 14 15 16 17 18
户数 3 5 2 3 3 2 1 1
解：每户用水量的平均数为：
300户家庭的用水量约为13.5×300＝4050m3.
5.垫球是排球队常规训练的重要项目之一.下列图标中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩，测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分：
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩(分) 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7
运动员甲的成绩
（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数：
解：观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为）
解：易知=7（分），
又，∴选乙运动员更合适.
方差：S =
用样本推断总体的过程:
首先选择随机样本，计算样本的平均数和方差，用来估计总体的样本和方差.在大多数情况下，当样本容量足够大时，用简单随机样本的统计量去对总体作出相应的估计是合理的．这样我们就完成了用样本推断总体的过程.
平均数：=

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