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5.1 总数平均数与方差的估计
1.在理解样本与总体的关系的基础上，认识并体会统计估计的意义、实施方法及在实际问题中的应用.
2.知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差.
这个问题看似很庞大，但如果找到好的方法，会很容易解决.我们可以在本节课的最后再来回答这个问题.
有同学说，可以在两个实验区分别检查一下这两种水稻，那么具体要怎么检查呢？
某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，在种植面积相同的条件下，用相同的管理技术试种了两个品种的水稻，如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？
阅读下面的报道，回答问题 .
从上述报道可见，北京市统计局进行2012年度人口调查采用的是什么调查方式？
1.用样本平均数估计总体平均数
我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使得我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性 .
从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想. 用样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体方差就是这一思想的一个体现 . 实践和理论都表明：对于简单随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的 .
(1)如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？
(2)在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？
可以进行简单随机抽样，
然后用样本去推断总体 .
由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差 .
同样，我们可以从甲、乙两种棉花中各抽取一定量的棉花，分别统计它们的纤维长度的方差，再用这两个方差分别去估计这两种棉花纤维长度的整齐性，方差小的棉花品种整齐性较好 .
例如，我们可以从某城市所有家庭中随机抽取一部分家庭，统计他们在一年内丢弃的塑料袋个数，然后求出它们的平均值，再用这个平均值去估计该城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数 .
问题：果园里有100 棵梨树，在收获前，果农常会先估计果园里梨的产量．你认为该怎样估计呢？
梨的个数？
每个梨的质量？
（1）果农从100 棵梨树中任意选出10 棵，数出这10棵梨树上梨的个数，得到以下数据：
154，150，155，155，159，
150，152，155，153，157．
你能估计出平均每棵树的梨的个数吗？
所以，平均每棵梨树上梨的个数为154．
梨的质量 x/kg
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
0.5≤x＜0.6
频数
4
16
8
12
（2）果农从这 10 棵梨树的每一棵树上分别随机摘 4 个梨，这些梨的质量分布如下表：
能估计出这批梨的平均质量吗？
所以，平均每个梨的质量约为 0.42 kg．　　　　
样本估计总体；
用样本平均数估计总体平均数．
（3）能估计出该果园中梨的总产量吗？
思考：这个生活中的问题是如何解决的，体现了怎样的统计思想？
所以，该果园中梨的总产量约为6 468 kg． 　　　　
154×100×0.42 = 6468
某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩．如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？
2.根据方差做决策
为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差）．于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示：
种类 每亩水稻的产量/kg 甲 865 885 886 876 893 885 870 905 890 895
乙 870 875 884 885 886 888 882 890 895 896
这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量分别为：
x甲=（8 65 + 885 + 886 + 876 + 893 + 885 + 870 + 905 + 890 + 895）= 885，
x乙= （870 + 875 + 884 + 885 + 886 + 888 + 882 + 890 + 895 + 896）= 885.1.
由于这10亩水稻是简单随机抽取的，因此可以分别用这10亩水稻的平均产量去估计这两种水稻大面积种植后的平均产量 .
由于在试验区这两种水稻的平均产量相差很小，从而我们可以估计出大面积种植这两种水稻后的平均产量也应相差很小，所以，单从平均产量这一角度来考虑，我们还不能确定哪种水稻更有推广价值 . 因此，我们还需考虑这两种水稻产量的稳定性 .
利用计算器，我们可计算出这10亩甲、乙品种水稻产量的方差分别为 129.6，59.09. 由于 59.09 < 129.6，即 s乙2 < s甲2 .
因此我们可以估计种植乙种水稻的产量要比种植甲种水稻的产量稳定 .
从而我们可以得出：在该地区，种植乙种水稻更有推广价值 .
例 一台机床生产一种直径为40mm的圆柱形零件，在正常生产时，生产的零件的直径的方差应不超过0.01.如果超过0.01，则机床应检修调整.
下表是某日8：30-9：30及10：00-11：00两个时段中各随机抽取10个零件量出的直径的数值(单位：mm)
8:30 — 9:30 40 39.8 40.1 40.2 39.8 40.1 40.2 40.2 39.8 39.8
10:00 — 11:00 40 40 39.9 40 39.9 40.2 40 40.1 40 39.9
试判断在这两个时段内机床生产是否正常.


8:30 — 9:30 40 39.8 40.1 40.2 39.8 40.1 40.2 40.2 39.8 39.8
10:00 — 11:00 40 40 39.9 40 39.9 40.2 40 40.1 40 39.9



8:30 — 9:30 40 39.8 40.1 40.2 39.8 40.1 40.2 40.2 39.8 39.8
10:00 — 11:00 40 40 39.9 40 39.9 40.2 40 40.1 40 39.9
类似地，我们可以推断在 10:00 —11:00 这段时间内该机床生产正常.
由于随机抽取的 8:30 — 9:30 这段时间内生产的10个零件的直径的方差为 0.03 ，远远超过 0.01 的界限，因此我们可以推断在这段时间内该机床生产不正常.
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
1．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33，25，28，26，25，31.如果该班有45名学生，那么根据提供的数据，估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约(　　 )
A．900个 B．1080个
C．1260个 D．1800个
C
2. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛．在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.01，则下列说法中，正确的是(　　 )
A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．甲、乙两人成绩的稳定性相同
C．乙的成绩比甲的成绩稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定
C
3．小辰家买了一辆小轿车，小辰连续记录了七天中每天行驶的路程：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
路程 (千米) 36 29 27 40 43 72 33
请你用学过的统计知识解决下面的问题：
(1)小辰家的轿车每月(按30天计算)要行驶多少千米？
解：∵＝40(千米)，
∴40×30＝1 200(千米)．
故小辰家的轿车每月要行驶1 200千米；
解：4.74×8×1200×12÷100＝5460.48≈5500(元)．
故小辰家一年的汽油费用大约是5500元．
3．小辰家买了一辆小轿车，小辰连续记录了七天中每天行驶的路程：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
路程 (千米) 36 29 27 40 43 72 33
请你用学过的统计知识解决下面的问题：
(2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升4.74元，请你算出小辰家一年(按12个月计算)的汽油费用大约是多少元？(精确到百元)
4．甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的白糖，从中各随机抽出10袋，测得实际质量如下(单位：g)：
甲：501　500　503　506　504　506　500　498　497　495
乙：503　504　502　498　499　501　505　497　502　499
(1)分别计算两个样本的方差；
解：∵x甲＝(501＋500＋503＋506＋504＋506＋500＋498＋497＋495)÷10＝501(g)，
x乙＝(503＋504＋502＋498＋499＋501＋505＋497＋502＋499)÷10＝501(g)，
∴s甲2＝12.6，
s乙2＝6.4；
解：∵s甲2＞s乙2，
∴乙包装机包装的质量比较稳定．
4．甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的白糖，从中各随机抽出10袋，测得实际质量如下(单位：g)：
甲：501　500　503　506　504　506　500　498　497　495
乙：503　504　502　498　499　501　505　497　502　499
(2)哪台包装机包装的质量较稳定？

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