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5.2 统计的简单应用
课时1 用样本百分比估计总体百分比
1.知道样本率、百分比的概念.
2.学会用简单随机样本中的“率”估计总体的“率”．
在日常生活中， 我们经常遇到各种各样的“率”： 一个国家的森林覆盖率、一个省的婴儿出生率、一个电视栏目的收视率、一种产品的合格率等等. 那么这些“率”到底能够说明什么呢？
当要考察的总体所含个体数量较多时，“率” 的计算就比较复杂，有什么方法来对“率” 作出合理的估计吗？
从统计的观点看， 一个“率” 就是总体中具有某些特性的个体在总体中所占的百分比.
在实践中，我们常常通过简单随机抽样，用样本的“率” 去估计总体相应的“率”. 例如工厂为了估计一批产品的合格率， 常常从该批产品中随机抽取一部分进行检查，通过对样本进行分析，从而推断出这批产品的合格率。
可以通过简单随机抽样，先计算出样本的“率” ，再用样本的“率”去估计总体相应的“率”.
用样本的“率”(百分比)估计总体的“率”(百分比)：
1.率：从统计的观点看，一个“率”就是总体中具有某些特性的个体在总体中所占的百分比.
2.样本估计整体：可以通过简单随机抽样，先计算出样本的“率” ，再用样本的“率”去估计总体相应的“率”.
例1 某工厂生产了一批产品，从中随机抽取1000件来检查，发现有10件次品. 试估计这批产品的次品率.
解:由于是随机抽取，即总体中每一件产品都有相同的机会被抽取.因此，随机抽取的1000件产品组成了一个简单随机样本，因而可以用这 样本的次品率作为对这批产品的次品率的估计,从而这批产品的次品率为1%.
某地为提倡节约用水， 准备实行“阶梯水价计费”方式，用户月用水量不超出基本月用水量的部分享受基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费. 为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的月用水量数据，并将这些数据绘制成了 所示的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）.
如果自来水公司将基本月用水量定为每
户每月12t，那么该地20万用户中约有多少用
户能够全部享受基本价格？
问题1：从这幅用户的月用水量频数直方图，你能知道总共随机抽取了多少用户来绘制统计图吗？
答：可以从统计图得知，总共有10+20+36+25+9=100（户）被随机抽取绘制了统计图.
问题2：随机抽取的用户中有多少用户每月用水量在基本月用水量以下？
答：由于将基本月用水量定为每户每月12 t，而被抽取的100户用户中，有66户（10 + 20 + 36）没有超出基本月用水量.
在被抽取的100户用户中，有66户没有超出基本月用水量，因此被随机抽取的用户中有66%的用户能够全部享受基本价格.
由于这100户用户是随机抽取的，因此这100户的月用水量就构成了一个简单随机样本，从而可以用这个样本中的能够全部享受基本价格的用户比例去估计总体相应的比例.因此，估计在该地20万用户中约有20×66%=13.2（万户）的用户能够全部享受基本价格.
问题3：被抽取的用户中，能够全部享受基本价格的用户的“率”是多少
问题4：该地20 万用户中约有多少用户能够全部享受基本价格？
用统计数据进行推断或预测：
通过科学调查，在取得真实可靠的数据后，我们可以运用正确的统计方法来推断总体，除此之外，还可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测，为正确的决策提供服务.
例2 下表给出了某校500 名12 岁男孩中用随机抽样得出的100人的身高h的分组数据（单位:cm）：
（1） 列出样本频率分布表﹔
解 ：
（１） 根据题意， 可得如下样本频率分布表.
解：由表可知，身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04 + 0.07 +0.08 = 0.19 . 又随机抽取的这100名男孩的身高组成了一个简单随机样本，因而可以用这个样本的频率0.19作为该校500名12岁男孩相应频率的估计.
因此，估计该校500名12岁男孩中身高小于134 cm的人数约为500 × 0.19 = 95(人).
（2）估计该校500名12岁男孩中身高小于134cm的人数.
1.某市教育局为了解该市5万名九年级学生的身体素质情况，随机抽取了1000名九年级学生进行检测.已知被检测学生的身体素质达标率为95%，请据此估计该市九年级学生中身体素质达标的学生人数.
1000名学生是随机抽取的，所以1000名学生的身体素质是随机样本，因而可以用这个达标率（95%）作为该市九年级学生身体素质达标率的估计.
50000×95%=47500（人）
答：估计该市九年级学生身体素质达标人数为47500人.
2.为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某市在中学生中举行了一次“环保知识竞赛”，共有19000名中学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了500名学生的成绩x(得分均为整数，满分为100分)进行统计后得到下表.请根据表格解答下列问题:
(1)补全表格;
分组 频数 频率
51≤x＜61 40 0.08
61≤x＜71 0.16
71≤x＜81 100
81≤x＜91 160 0.32
91≤x＜101
合计 500
(2)假设成绩在71分至90分之间(含71分，90分)的学生为二等奖，请据此估计该市获得二等奖的学生人数.
分组 频数 频率
51≤x＜61 40 0.08
61≤x＜71 0.16
71≤x＜81 100
81≤x＜91 160 0.32
91≤x＜101
合计 500
(1)补全表格
(2)
80
0.20
120
0.24
1.00
二等奖
0.2+0.32=0.52
19000×0.52=9880（人）
答：估计该市获得二等奖的学生人数是9880人.
3.某灯具厂从1万件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，估计该厂这一万件产品中不合格品约为多少件？
解：∵某灯具厂从1万件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，
∴不合格率为：5÷100=5%，
∴估计该厂这一万件产品中不合格品为10000×5%=500件．
4.为了了解我市某县参加2008年初中毕业会考的6000名考生的数学成绩，从中抽查了200名学生的数学成绩（成绩为整数，满分120分）进行统计分析，并根据抽查结果绘制了如下的统计表和扇形统计图：
（1）请将以上统计表和扇形统计图补充完整；
（2）若规定60分以下（不含60分）为“不合格”，60分以上（含60分）为“合格”，80分以上（含80分）为“优秀”，试求该样本的合格率、优秀率；
（3）在（2）的规定下，请用上述样本的有关信息估计该县本次毕业会考中数学成绩优秀的人数和不合格的人数．
解：（1）79.5~89.5的人数是14%×200=28，
89.5~99.5的人数是11%×200=22，
69.5~79.5所占的百分比=46÷200×100%=23%；
59.5以下所占的百分比=28÷200×100%=14%;
（2）合格率：1-14%=86%， 优秀率：14%+11%+16%=41%；
（3）优秀人数：41%×6000=2460，不合格人数：14%×6000=840．
5. 2014年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从该校360名九年级学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表（如下），请根据图表信息解答下列问题：
（1）补全频数分布表；
（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平.
解：（1）
（2）A等级的同学人数为40人，频率为0.40，
∴估计该校九年级约有 0.4×360=144人达到优秀水平．
50
0.40
100
用样本百分比估计总体百分比
用样本的“率”去估计
总体相应的“率”
用样本的频数或频率去估计
总体相应的频数或频率
“率”
样本的“率”
总体的“率”

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