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第十章 二元一次方程组
10.4 三元一次方程组的解法
目
录
1. 学习目标
4. 知识点1 三元一次方程组的概念
7. 课堂小结
8. 当堂小练
CONTENTS
3. 新课导入
5. 知识点2 解三元一次方程组
10. 拓展与延伸
9. 对接中考
2. 知识回顾
6. 知识点3 三元一次方程组的应用
1. 了解三元一次方程组的概念.
2. 熟练掌握解三元一次方程组的方法与步骤，进一步体会化归思想，提升运算能力.
3. 会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高模型观念，发展应用意识.
学习目标
知识回顾
1. 解二元一次方程组有哪几种方法？
2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
新课导入
【问题】在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
【思考】（1）题目中有几个未知量
（2）题目中有哪些等量关系
（3）如何用方程表示这些等量关系
新课讲解
知识点1 三元一次方程组的概念
三个小动物年龄之和为26岁
流氓兔比加菲猫大1岁
流氓兔年龄的2倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁
求
三
个
小
动
物
的年
龄
新课讲解
【问题1】题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：
流氓兔的年龄
加菲猫的年龄
米老鼠的年龄
每一个未知量都用一个字母表示
x岁
y岁
z岁
三个未知数（元）
等量关系：
(1)流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26
(2)流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄
(3)2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18
用方程表示等量关系.
x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

新课讲解
【问题2】观察列出的三个方程，你有什么发现？
x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

二元一次方程
三元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是1
含三个未知数
未知数的次数都是1
新课讲解
因三个小动物的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
三元一次方程组必须同时满足以下条件：
(1)方程组中一共有三个整式方程；
(2)方程组中一共含有三个未知数；
(3)每个方程中含未知数的项的次数都是1.
组成三元一次方程组的某个方程，可以是一元一次方程或二元一次方程或三元一次方程.只要保证方程组一共有三个未知数即可.
注意
新课讲解
例
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
未知数的数量有4个
第二个方程不是整式方程
第三个方程每个方程中含未知数的项的次数不为1
A
新课讲解
练一练
1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
【注意】组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都 含有三个未知数．
新课讲解
练一练
2. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
新课讲解
知识点2 解三元一次方程组
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
解三元一次方程组的基本思路：
消元
消元
一元一次方程
二元一次方程组
三元一次方程组
新课讲解
例
2. 解方程组：
解：由方程②得：x=y+1 ④
把④分别代入①③得
整理得
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把y=8代入④，得x=9
所以原方程的解是
类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
新课讲解
例
解：将③代入①②，得
即
解这个方程组，得
3. 解方程组：
把 y=2 代入③，得 x=8.
因此，这个三元一次方程组的解为
还有其他方法吗？
新课讲解
例
3. 解方程组：
解：①×5-②，得 4x+3y=38. ④
③与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x=8，y=2 代入①，得 8+2+z=12，解得 z=2.
因此，这个三元一次方程组的解为
新课讲解
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
解三元一次方程组的一般步骤：
(1) 消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.
(2) 求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值.
(3) 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中含第三个未知数的方程，得到一个一元一次方程.
(4) 求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值.
(5) 写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起.
解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.
注意
新课讲解
练一练
1. 观察方程组 的系数的特点，若要使求解简便，消元的方法应选取( )
A. 先消去 x
B. 先消去 y
C. 先消去 z
D. 以上说法都不对
B
加减消元法
新课讲解
练一练
2. 解三元一次方程组.
分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
②×3+③消去y.
解：②×3+③，得 11x+10z=35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x=5，z=-2代入②，得2×5+3y-2=9.
解得 y=.
因此，这个三元一次方程组的解为
新课讲解
知识点3 三元一次方程组的应用
4. 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值.
分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
例
②-①,得a+b=1. ④
③-①,得4a+b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组,
把a=3，b=-2代入①，得 c=-5.
因此a，b，c的值分别为3，-2，-5.
新课讲解
例
5. 某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如右表：
已知该农场计划投入 67 万元，应该怎样安排三种农作物的种植面积，才能使所有的职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4 人 1 万元
棉花 8 人 1 万元
蔬菜 5 人 2 万元
等量关系：
种植水稻的面积+种植棉花的面积+种植蔬菜的面积= 51(公顷)；
种植水稻人数+种植棉花人数+种植蔬菜人数=300(人)；
种植水稻投入的总资金+种植棉花投入的总资金+种植
蔬菜投入的总资金=67(万元).
解：设安排 x 公顷种植水稻，y 公顷种植棉花，z 公顷种植蔬菜，依题意，得
解这个方程组，得
答：安排 15 公顷种植水稻，20 公顷种植棉花，16 公顷种植蔬菜.
新课讲解
列三元一次方程组解决实际问题的方法
列三元一次方程组解决实际问题的方法与列二元一次方程组解决实际问题的方法类似，根据题意寻找等量关系是解题的关键.列三元一次方程组解决实际问题时，需设三个未知数并找出三个等量关系.
归纳
新课讲解
练一练
1. 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，y的值相等.求a，b，c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
化简，得
分析：把a，b，c看作三个未知数，分别代入x，y的值，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解三元一次方程组即可.
②-①，得a+b=7.④
③与④组成方程组
解这个方程组，得
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
新课讲解
练一练
2. 为迎接“艺术节”，学校组织了一次游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三只飞镖，在同一圆环内得分相同.如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是 29 分、43 分和 33 分，则小华的成绩是( )
A. 31分
B. 33分
C. 36分
D. 38分
2y+z=29
2x+z=43
3y=33
z
x
y
解：设飞镖投到最小的圆环中得 x 分，投到中间的圆环中得 y 分，投到最外面的圆环中得 z 分，
根据题意，得 解得
则小华的成绩是 18 +11 +7 =36(分).
C
新课讲解
练一练
3. 小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
分析：这个问题中包含有____个等量关系.
______________________________________________.
______________________________________________.
______________________________________________.
10元纸币张数+20元纸币张数+50元纸币张数=12张
10元纸币的张数=20元纸币的张数的4倍
10元的金额+20元的金额+50元的金额=220元
3
解：设10元、20元、50元的纸币分别为x张、y张、z张.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：10元、20元、50元纸币各有8张、2张、2张.
课堂小结
三元一次
方程组
代入法
加减法
满足的条件
三个整式方程
含有三个未知数
含未知数的项的次数都是1
解法
消元
二元一次方程组
一元一次方程
列三元一次方程组解实际问题
当堂小练
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C D.
C
当堂小练
2. 解三元一次方程组如果消掉未知数z，则应对方程组的变形为（　　）
A. ① + ③，① × 2- ②
B. ① + ③，③ × 2+ ②
C. ② - ①，② - ③
D. ① - ②，① × 2- ③
C
当堂小练
3. 由方程组 可以得到的值等于( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
解：3 个方程左右两边分别相加，得3x+3y+3z=24，
所以 x+y+z=8.
A
当堂小练
4. 若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值为_____.
1
5. 解方程组 ，则x＝____，y＝____，z＝____.
解析：通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6
8
3
当堂小练
6. 解下列三元一次方程组：(1)
解：①+③，得2x+2y=-1.④
①×2-②，得8x+3y=1.⑤
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把代入②，得z=-.
因此，这个三元一次方程组的解为
当堂小练
解：①+ ② ，得5x+2y=16.④
①-③，得2x-2y=-2.⑤
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
6. 解下列三元一次方程组：(2)
把代入③ ，得2+3+z=6，解得z=1.
因此，这个三元一次方程组的解为
当堂小练
7. 已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
解：根据题意，得
解这个方程组，得
所以x，y，z的值分别为7，2，19.
当堂小练
8. 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的. 求这三个数.
解：设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z，
由题意列方程组，得
解这个三元一次方程组，得
答：甲、乙、丙三个数分别为10，15，10.
当堂小练
9. 有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和是8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数.
解：设原来的三位数的百位上的数字是 x，十位上的数字是 y，个位上的数字是 z.
由题意，得
解得
所以原来的三位数是 2×100+5×10+3 =253.
答：原来的三位数为 253.
为何乘以100和10呢？
当堂小练
解：由题意列方程组，得
解这个三元一次方程组，得
10. 在等式z=ax+by+c中，当x=1，y=2时，z=8；当x=2，y=1时，z=5；当x=-1，y=-1时，z=4. 求a，b，c的值.
所以，a，b，c的值分别是-1，2，5.
当堂小练
11. 某车间共有职工 63 人，加工一件产品需要三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工 300 件，在第二道工序里能加工 500 件，在第三道工序里能加工 600 件，为使每天能生产出最多的产品，应如何安排各工序的人数？
解：设第一道工序安排 x 人，第二道工序安排 y 人，第三道工序安排 z 人，
根据题意，得
解得
答：为使每天能生产出最多的产品，第一道工序应安排 30 人，第二道工序应安排 18 人，第三道工序应安排 15 人.
对接中考
1. 解方程组：
→不含未知数z.
消去未知数z.
解：①×2+②，得5x+8y=7. ④
③与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x=3，y=-1代入①，得3+3×(-1)+2z=2，所以z=1.
所以，这个三元一次方程组的解为
对接中考
2. 如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽 . 有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从 1 至 9 中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同 . 作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计
分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操
作 . 再重复以上操作两次 . 已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分
之和分别为 20 分、10 分、9 分，其中第一次操作计分最高的是
乙槽，则第二次操作计分最低的是 ________（从“甲槽”“乙
槽”“丙槽”中选填） .
乙槽
拓展与延伸
1. 解方程组
解：由①②，得 .
因此，这个三元一次方程组的解为
设 ，，，
所以 ，.
代入③，得 ，解得 .
拓展与延伸
2. 为确保信息安全，在传输时往往需加密，当发送方发出一组密码 a，b，c 时，则接收方对应收到的密码为 A, B, C. 双方约定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3时，则收到 0，4，5.
(1)当发送方发出一组密码为 2，3，5 时，则接收方收到的密码是多少？
(2)当接收方收到一组密码为 2，8，11 时，则发送方发出的密码是多少？
解：(1)由题意，得
所以 A=1，B=6，C=8.
答：接收方收到的密码是 1，6，8.
(2)由题意，得 解得
答：发送方发出的密码是 3，4，7.

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