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4.3 解直角三角形
1.了解并掌握解直角三角形的概念.
2.理解直角三角形中五个元素之间的联系.
3.会运用锐角三角函数、勾股定理等知识解直角三角形.
角α 值 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
复习导入
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.
对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决.
cos A=
sin A=
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
（1）直角三角形的三边之间有什么关系？
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
a2+b2=c2(勾股定理)
∠A+∠B=90°.
tan A=
A
C
B
c
b
a
根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形？
（全等的直角三角形算一个）
（1）一个锐角为40°；
（2）一个锐角为40°，它的邻边长为3cm；
（3）一个锐角为40°，它的对边长为3cm；
（4）一个锐角为40°，斜边长为3cm；
在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素.
思考：为什么两个元素中必有一条边？在直角三角形中，若知道的2个元素都是直角，能求出直角三角形的边吗？
如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.
解：∵∠B=90°-∠A=60° ,∠A=30°.且tan B=.
∴b=a·tan B=5·tan60°=5
∵sin A=
∴= 10.
c 还有另外一个解法？
勾股定理
根据三角函数，借助已知的元素信息，可以求出三角形所需的元素。而在直角三角形中，我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A = ，BC = 5， 试求AB的长.
解：∵ ∠C=90° ，cos A = ，∴
设AB=x，则AC=
又AB =AC +BC ，则x =（x） +5
∴x1=,x2=（舍去）
∴AB的长为.
在解直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理方程思想。
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b = a · tan A B. b = c · sin A
C. b = c · cos A D. a = c · cos A
C
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°， AB = 8，则 BC 的长是 ( )
D
A
C
B

3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 37°，BC = 32，则 AC = ______. ( 参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75 ).
24
4. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3，cosB = ，则 AC 的长为 .
3.75
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，角平分线AD=4，解这个直角三角形.
解：
∵ AD 平分∠BAC，
D
A
B
C
6
6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°.
(1)若c＝10，求a，b的值；
(2)若a＝4，求b及∠B的值．
解：∵sinA=
∴
解：∵tanA=∴=
∴b=，∠B=90°-60°=30°.
7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形。若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）
解：在等边△ABD中，∠B=60°
∵∠BAC=90°
∴∠C=30°，sinC= ，∴BC=4.
∵cosC= ∴AC=BC·cosC=2·
∴△ABC的周长是6+2· .
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=
(4)面积公式：S△ABC=
在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素。
我们把直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.

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