资源简介

(共23张PPT)
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示一些生活中与直角三角形相关的图片，如楼梯、斜坡、电线杆的拉线等，并提出问题：在这些生活场景中，我们常常需要知道一些角度或长度的信息，比如楼梯的倾斜程度、斜坡的坡度等，那么如何通过已有的边长信息来获取这些角度信息，或者通过角度来计算边长呢？
引导学生思考，引发学生对直角三角形边角关系的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的课题 —— 直角三角形的边角关系。
（二）讲授新课（25 分钟）
锐角三角函数的定义
构建直角三角形模型：在黑板上画出一个 Rt，其中∠C = 90° 。
引入正弦函数：设∠A 为锐角，引导学生观察∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比值，定义 sin= \(\frac{BC}{AB}\)，即∠A 的正弦等于∠A 的对边与斜边的比。通过改变∠A 的大小，让学生观察这个比值的变化情况，强调对于一个确定的锐角∠A，其正弦值是固定的。
同理，讲解余弦函数和正切函数的定义：co = \(\frac{AC}{AB}\)，∠A 的余弦等于∠A 的邻边与斜边的比；ta = \(\frac{BC}{AC}\)，∠A 的正切等于∠A 的对边与邻边的比。
给出多个不同的直角三角形，让学生分别同锐角的正弦、余弦和正切值，加深对定义的理解。
特殊锐角的三角函数值
30° 角的三角函数值：构建一个含 30° 角的直角三角形，设 30° 角所对的直角边为 a，根据直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边为 2a，再利用勾股定理求出另一条直角边为\(\sqrt{3}a\) 。然后分别计算 sin30° = \(\frac{a}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)，cos30° = \(\frac{\sqrt{3}a}{2a}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，tan30° = \(\frac{a}{\sqrt{3}a}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 。
45° 角的三角函数值：构建一个等腰直角三角形，设直角边为 b，则斜边为\(\sqrt{2}b\) 。计算 sin45° = \(\frac{b}{\sqrt{2}b}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，cos45° = \(\frac{b}{\sqrt{2}b}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，tan45° = \(\frac{b}{b}\) = 1 。
60° 角的三角函数值：利用含 30° 角的直角三角形，因为 60° 角与 30° 角互为余角，根据三角函数的诱导公式或直接计算，可得 sin60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，cos60° = \(\frac{1}{2}\)，tan60° = \(\sqrt{3}\) 。
制作特殊锐角三角函数值表格，让学生观察表格，总结规律，帮助记忆。
三角函数的应用
举例说明如何运用三角函数解决实际问题，如测量建筑物的高度。已知在离建筑物底部一定距离的地方，测量出观测点到建筑物顶部的仰角以及观测点到建筑物底部的距离，构建直角三角形，选择合适的三角函数（如正切函数）来计算建筑物的高度。
讲解解题的一般步骤：首先根据题意画出直角三角形，明确已知条件和所求问题；然后分析在直角三角形中已知哪些边或角，选择恰当的三角函数关系；最后进行计算求解，并检验答案的合理性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：在 Rt中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，求 sin的值。
分析：根据正弦、余弦和正切函数的定义，先求出 AC 的长度（利用勾股定理 AC = \(\sqrt{AB^{2} - BC^{2}}\) = \(\sqrt{25 - 9}\) = 4），再代入公式计算。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
30°，45°，60°角的三角函数值
知1－讲
1
30°，45°，60°角的三角函数值
三角函数 三角函数值 角α sin α cos α tan α
30°
45° 1
60°
知1－练
例 1
(1)已知∠α=45°，求2sin2α－2 sin α·tan α+tan2α的值；
(2)计算tan245°+ －3cos230°－ 的值.
解题秘方：用代入法求值.
知1－练
解：(1)2sin2α－2sin α·tan α+tan2α = (sin α－tan α)2.
当∠α =45°时，
原式 = (sin 45°－tan 45°)2 = 2 = 0.
(2)原式 = ×12 + －3×2－= + 4－－1 = 1.
知1－练
在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且∠A，∠B满足+ 2 = 0，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解题秘方：先根据特殊角的三角函数值求出两个内角的度数，再判断三角形的形状.
例 2
知1－练
解：△ABC是直角三角形. 理由如下：
∵ + 2 = 0
∴ sin A－= 0，= 0，∴ sin A = ，tan B = .
又∵∠A ，∠B均为锐角，∴∠A=60°，∠B=30°.
∴∠A + ∠B=60°+30°=90°.∴△ABC是直角三角形.
知2－讲
知识点
特殊角的三角函数值的实际应用
2
利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型；
(2)利用三角函数的定义或定义的变形表示题目中的相关量；
(3)找出各个量之间的关系；
(4)利用已知量与未知量的关系求解未知量；
(5)得出结论.
注意在构造直角三角形时，要注意角度拆分的应用.
知2－练
如图1-2-1，在一次课外实践活动中，同学们要测量
某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离.
解题秘方：紧扣利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤，建立三角函数模型解决问题.
例 3
知2－练
解：如图1-2-1，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.
∵∠CAB=120°，∴∠CAD=60°，∴∠ACD=30°，
∴ AD = AC=15 m ，CD=AC·cos 30°=15 m.
在Rt△BDC中，BD===65(m)，
∴ AB=BD－AD=65－15=50(m)，
即A，B两个凉亭之间的距离为50 m.
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D
返回
D
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3. sin 70°，cos 70°，tan 70°的大小关系是(　　)
A. tan 70°＜cos 70°＜sin 70°
B. cos 70°＜tan 70°＜sin 70°
C. sin 70°＜cos 70°＜tan 70°
D. cos 70°＜sin 70°＜tan 70°
D
返回
C
返回
B
返回
7. 如图，在△ABC中，∠A＝15°，∠B＝30°，BC＝1，求：
(1)△ABC的面积；
【解】如图，过点A作AD⊥BC，
交BC的延长线于点D.
∵∠BAC＝15°，∠B＝30°，
∴∠ACD＝45°.
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8. 随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛. 如图，正方形ABCD为擦窗机器人的示意图，其边长是28 cm.在某次擦窗工作中，PM，PN为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A，B分别落在PM，PN上，PA＝14 cm，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定
的角度，使得AD∥PM，则旋转角度(旋转角
度小于90°)是(　　)
A. 15°　 B. 30°　 C. 45°　 D. 60°
30°，45°，60°角的三角函数值
特殊角
30°
45°
60°
三角函数值
解决实际问题
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