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(共35张PPT)
1.3 三角函数的计算
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示一些生活中与直角三角形相关的图片，如楼梯、斜坡、电线杆的拉线等，并提出问题：在这些生活场景中，我们常常需要知道一些角度或长度的信息，比如楼梯的倾斜程度、斜坡的坡度等，那么如何通过已有的边长信息来获取这些角度信息，或者通过角度来计算边长呢？
引导学生思考，引发学生对直角三角形边角关系的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的课题 —— 直角三角形的边角关系。
（二）讲授新课（25 分钟）
锐角三角函数的定义
构建直角三角形模型：在黑板上画出一个 Rt，其中∠C = 90° 。
引入正弦函数：设∠A 为锐角，引导学生观察∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比值，定义 sin= \(\frac{BC}{AB}\)，即∠A 的正弦等于∠A 的对边与斜边的比。通过改变∠A 的大小，让学生观察这个比值的变化情况，强调对于一个确定的锐角∠A，其正弦值是固定的。
同理，讲解余弦函数和正切函数的定义：co = \(\frac{AC}{AB}\)，∠A 的余弦等于∠A 的邻边与斜边的比；ta = \(\frac{BC}{AC}\)，∠A 的正切等于∠A 的对边与邻边的比。
给出多个不同的直角三角形，让学生分别同锐角的正弦、余弦和正切值，加深对定义的理解。
特殊锐角的三角函数值
30° 角的三角函数值：构建一个含 30° 角的直角三角形，设 30° 角所对的直角边为 a，根据直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边为 2a，再利用勾股定理求出另一条直角边为\(\sqrt{3}a\) 。然后分别计算 sin30° = \(\frac{a}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)，cos30° = \(\frac{\sqrt{3}a}{2a}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，tan30° = \(\frac{a}{\sqrt{3}a}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 。
45° 角的三角函数值：构建一个等腰直角三角形，设直角边为 b，则斜边为\(\sqrt{2}b\) 。计算 sin45° = \(\frac{b}{\sqrt{2}b}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，cos45° = \(\frac{b}{\sqrt{2}b}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，tan45° = \(\frac{b}{b}\) = 1 。
60° 角的三角函数值：利用含 30° 角的直角三角形，因为 60° 角与 30° 角互为余角，根据三角函数的诱导公式或直接计算，可得 sin60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，cos60° = \(\frac{1}{2}\)，tan60° = \(\sqrt{3}\) 。
制作特殊锐角三角函数值表格，让学生观察表格，总结规律，帮助记忆。
三角函数的应用
举例说明如何运用三角函数解决实际问题，如测量建筑物的高度。已知在离建筑物底部一定距离的地方，测量出观测点到建筑物顶部的仰角以及观测点到建筑物底部的距离，构建直角三角形，选择合适的三角函数（如正切函数）来计算建筑物的高度。
讲解解题的一般步骤：首先根据题意画出直角三角形，明确已知条件和所求问题；然后分析在直角三角形中已知哪些边或角，选择恰当的三角函数关系；最后进行计算求解，并检验答案的合理性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：在 Rt中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，求 sin的值。
分析：根据正弦、余弦和正切函数的定义，先求出 AC 的长度（利用勾股定理 AC = \(\sqrt{AB^{2} - BC^{2}}\) = \(\sqrt{25 - 9}\) = 4），再代入公式计算。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
用科学计算器求任意锐角的三角函数值
1. 求整数度数的锐角的三角函数值
在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有
，当我们计算某整数度数的三角函数值时，可先按相应的键，然后从高位向低位按出表示度数的整数，最后按 键，屏幕上就会显示出结果.
知1－讲
感悟新知
2. 求非整数度数的锐角的三角函数值
(1)若度数是用度表示的，则按整数度数的按键步骤操作 即可.
(2)若度数是用度、分、秒表示的，在用科学计算器计算三角函数值时，同样先按 或 或 键，然后依次按 (度) (分) (秒)键，最后按 键，屏幕上就会显示出结果. 若锐角中只有度、秒，则应在
(分)键前补上0 .
感悟新知
知1－练
用计算器求sin 26°，cos 42°，tan 75°，
sin 72°38′25″的值.
例 1
解题秘方：按计算器的使用说明求值.
感悟新知
知1－练
解：求值过程如下表所示.
按键顺序 显示结果
sin 26° sin 26°=0.438 371 146
cos 42° cos 42°=0.743 144 825
tan 75° tan 75°=3.732 050 808
sin 72°38′25″ sin 72°38′25″=
0.954 450 312
知识点
用科学计算器由锐角三角函数值求锐角
知2－讲
感悟新知
2
已知锐角三角函数值求锐角的度数
如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按 键，将 转化成它们的第二功能. 当三角函数值为分数时，应先化成小数.
感悟新知
知2－练
根据下列条件求锐角A 的度数：
(1)sin A=0.921 6；
(2)cos A=0.680 7；
(3)tan A=0.189 0.
例2
解题秘方：按计算器的使用说明依次按键.
知2－练
感悟新知
解：(1)按键顺序为
显示结果为sin－10.921 6=67.161 123 32，
再按 得∠ A ≈ 67°9′40″.
(2)按键顺序为
显示结果为cos－10.680 7=47.101 632 24，
再按 得∠ A ≈ 47°6′6″.
知2－练
感悟新知
(3)按键顺序为
显示结果为tan－10.189 0=10.702 657 49，
再按 得∠ A ≈ 10°42′10″
知识点
仰角、俯角
知3－讲
感悟新知
3
名称 定义 图示
仰角 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角
俯角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 感悟新知
知3－练
如图1-3-1，小东在教学楼距地面9 m 高的窗口
C处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°. 升旗时，国旗上端在距地面1.95 m处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放
46 s 结束时到达旗杆顶端，则国旗应以
多大的速度匀速上升？( 参考数据：sin 37 °
≈ 0.60 ，cos 37°≈ 0.80 ，tan 37°≈ 0.75 )
例 3
知3－练
感悟新知
解：如图1-3-1，作CD ⊥ AB 于点D，则BD=9 m.
在Rt△BCD中，BD=9 m，
∠ BCD=45° ，
则BD=CD=9 m.
在Rt△ACD中，CD=9 m，
∠ ACD=37° ，
知3－练
感悟新知
则AD=CD·tan 37°≈ 9×0.75=6.75(m).
所以AB=AD+BD≈ 15.75 m.
因为国旗上升的高度约是15.75－1.95=13.8(m)，
整个过程耗时46 s，所以国旗的上升速度约为=0.3(m/s).
因此国旗应以约0.3 m/s 的速度匀速上升.
知3－练
感悟新知
3-1. [中考·新疆] 烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧．
知3－练
感悟新知
某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图，无人机飞至距地面高度31.5 米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．
(参考数据：sin 50°≈ 0.8，cos 50°≈ 0.6，
tan 50°≈1.2，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，
tan 65°≈ 2.1)
知3－练
感悟新知
知3－练
感悟新知
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1. 用计算器求sin 70°的值，以下按键顺序正确的是(　　)
A. B.
C. D.
A
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2. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并以“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
D
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3. [教材P15习题T3] (1)已知cos A＝0.785 7，用计算器计算锐角∠A≈________(精确到1′).
(2)已知sin α＝0.603 1，用计算器求锐角α≈____________ (精确到1″).
38°13′　
37°5′32″
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4. 利用计算器计算sin29.5°－cos 58°30′＋tan 52°30′≈______. (精确到0.01)
0.81
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5. [教材P15习题T5]如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点. 已知坡角为20°，山高BC＝ 2 km.用科学计算器计算小路AB的长度为__________. (结果精确到0.01 km)
5.85 km
6. 应用计算器填一填，分别比较各个三角函数值的大小，说一说有什么规律：
(1)cos 20°≈________，cos 40°≈________，
cos 60°＝________，cos 80°≈________.
规律：
0.939 7
0.766 0
0.5
0.173 6
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小．
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(2)tan 10°≈________，tan 30°≈________，
tan 50°≈________，tan 70°≈________.
规律：
0.176 3
0.577 4
1.191 8
2.747 5
在锐角范围内，正切函数值随着角度的增大而增大．
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【答案】C
8. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站. 中国空间站上机械臂的一种工作状态的示意图如图所示，当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，可得A，B两点间的距离为________. (结果精确到0.1 m，
参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈
0.643，tan 50°≈1.192)
15.3 m
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0.21
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10. 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：
(1)AB边上的高(用计算器计算，结果精确到0.01)；
(2)∠B的度数(用计算器计算，结果精确到1′).
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课堂小结
三角函数的计算
三角函数值
利用仰角、俯角解决问题
任意锐角
计算器
工具
谢谢观看！

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