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1.4 解直角三角形
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示一些生活中与直角三角形相关的图片，如楼梯、斜坡、电线杆的拉线等，并提出问题：在这些生活场景中，我们常常需要知道一些角度或长度的信息，比如楼梯的倾斜程度、斜坡的坡度等，那么如何通过已有的边长信息来获取这些角度信息，或者通过角度来计算边长呢？
引导学生思考，引发学生对直角三角形边角关系的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的课题 —— 直角三角形的边角关系。
（二）讲授新课（25 分钟）
锐角三角函数的定义
构建直角三角形模型：在黑板上画出一个 Rt，其中∠C = 90° 。
引入正弦函数：设∠A 为锐角，引导学生观察∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比值，定义 sin= \(\frac{BC}{AB}\)，即∠A 的正弦等于∠A 的对边与斜边的比。通过改变∠A 的大小，让学生观察这个比值的变化情况，强调对于一个确定的锐角∠A，其正弦值是固定的。
同理，讲解余弦函数和正切函数的定义：co = \(\frac{AC}{AB}\)，∠A 的余弦等于∠A 的邻边与斜边的比；ta = \(\frac{BC}{AC}\)，∠A 的正切等于∠A 的对边与邻边的比。
给出多个不同的直角三角形，让学生分别同锐角的正弦、余弦和正切值，加深对定义的理解。
特殊锐角的三角函数值
30° 角的三角函数值：构建一个含 30° 角的直角三角形，设 30° 角所对的直角边为 a，根据直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边为 2a，再利用勾股定理求出另一条直角边为\(\sqrt{3}a\) 。然后分别计算 sin30° = \(\frac{a}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)，cos30° = \(\frac{\sqrt{3}a}{2a}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，tan30° = \(\frac{a}{\sqrt{3}a}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 。
45° 角的三角函数值：构建一个等腰直角三角形，设直角边为 b，则斜边为\(\sqrt{2}b\) 。计算 sin45° = \(\frac{b}{\sqrt{2}b}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，cos45° = \(\frac{b}{\sqrt{2}b}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，tan45° = \(\frac{b}{b}\) = 1 。
60° 角的三角函数值：利用含 30° 角的直角三角形，因为 60° 角与 30° 角互为余角，根据三角函数的诱导公式或直接计算，可得 sin60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，cos60° = \(\frac{1}{2}\)，tan60° = \(\sqrt{3}\) 。
制作特殊锐角三角函数值表格，让学生观察表格，总结规律，帮助记忆。
三角函数的应用
举例说明如何运用三角函数解决实际问题，如测量建筑物的高度。已知在离建筑物底部一定距离的地方，测量出观测点到建筑物顶部的仰角以及观测点到建筑物底部的距离，构建直角三角形，选择合适的三角函数（如正切函数）来计算建筑物的高度。
讲解解题的一般步骤：首先根据题意画出直角三角形，明确已知条件和所求问题；然后分析在直角三角形中已知哪些边或角，选择恰当的三角函数关系；最后进行计算求解，并检验答案的合理性。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：在 Rt中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，求 sin的值。
分析：根据正弦、余弦和正切函数的定义，先求出 AC 的长度（利用勾股定理 AC = \(\sqrt{AB^{2} - BC^{2}}\) = \(\sqrt{25 - 9}\) = 4），再代入公式计算。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
解直角三角形的定义
定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
感悟新知
知1－练
根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；
③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；
⑤已知一直角边和斜边.
A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
例 1
感悟新知
知1－练
1-1. 在Rt△ABC 中，∠ C=90 °，a，b，c 分别是∠ A，∠ B，∠ C 的对边，b=3，c = 3，则∠ A= _______，∠ B= ________ ，a= ________ .
45°
45°
3
知识点
直角三角形中的边角关系
知2－讲
感悟新知
2
1. 直角三角形中的边角关系
在Rt △ ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为a，b，c，那么除直角外的五个元素之间有如下关系：
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
(2)两锐角之间的关系：∠ A + ∠ B=90° .
知2－讲
感悟新知
(3)边角之间的关系：
知2－讲
感悟新知
2. 运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形
(1)锐角之间的关系：∠ A=90°－∠ B，∠ B=90°－∠ A.
(2)三边之间的关系：a= ，b= ，c= .
(3)边角之间的关系：a=csin A，a=ccos B，a=btan A，b=csin B，b=ccos A，b=atan B.
知2－讲
感悟新知
活学巧记
口诀记忆法
有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他的意思可类推.
感悟新知
知2－练
根据下列条件，解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 其中a=20，c=20 ；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 其中a=2，b=2.
例 2
解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择合适的关系式求解.
知2－练
感悟新知
解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，则sin A= = = ，∴∠A=45°，∴∠B=90°－∠A=45°，∴ b=a=20.
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∵ a=2，b=2，∴ c=
= =4. ∵ tan A= = = ，
∴∠A=60 °，∴∠B=90°－∠A=90°－60°=30°
感悟新知
知2－练
根据下列条件，解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠A=30°，b=12；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠ A=60°，c=6.
例 3
感悟新知
知2－练
解：(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°，
∴∠ B=90°－∠ A=60°.
∵ tan A = ，∴ = ，∴ a=4，∴ c = 2a =8.
感悟新知
知2－练
解：(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，
∴∠ B=90°－∠ A=30°.
∵ sin A = ，∴ = ，∴ a=3.
由勾股定理得b = = = 3.
感悟新知
知2－练
如图1-4-1，在△ ABC 中，AB=1，AC= ，sin B= ，求BC 的长.
例 4
解题秘方：紧扣“化斜为直法”，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解.
知2－练
感悟新知
解：如图1-4-1 所示，过点A 作AE ⊥ BC，垂足为点E.
在Rt △ABE中，∵ sin B= = ，AB=1，
∴ AE=，∴ BE= =.
在Rt△ACE中，AC=，
∴ CE==. ∴ BC=BE+CE=.
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B
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B
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B
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5. 劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容之一，现有一块如图的四边形劳动教育基地，则此地的面积为________m2.
6. [教材P17随堂练习]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素.
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(2)已知∠B＝60°，c＝25.
(1)求BC的长；
(2)BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长.
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课堂小结
解直角三角形
解直角三角形
三边关系
两锐角关系
定义
条件
边角关系
依据
谢谢观看！

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