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2.3 确定二次函数的表达式
第二章　二次函数
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
二次函数的概念
给出几个具体的实际问题，引导学生列出函数关系式。
问题 1：正方体的棱长为

x
，表面积

y
与棱长

x
之间的关系。学生很容易得出

y=6x
2
。 y=20(1+x)
2
=20x
2
+40x+20相同点：都是用自变量的代数式表示函数。
不同点：

y=6x
2
和

y=20x
2
+40x+20
中自变量的最高次数是

2
，而

y=4x
中自变量的最高次数是

1
。
给出二次函数的定义：一般地，形如

y=ax
2
+bx+c
（

a
，

b
，

c
是常数，

a
?
=0
）的函数，叫做二次函数。其中
x
元，商场平均每天盈利

y
元。、余弦和正切函数的定义，先求出 AC 的长度（利用勾股定理 AC = \(\sqrt{AB^{2} - BC^{2}}\) = \(\sqrt{25 - 9}\) = 4），再代入公式计算。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
用待定系数法求二次函数的表达式
1. 常见的二次函数表达式的适用条件：
(1)一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线上三点的坐标；
(2)顶点式y=a(x－h)2+k(a，h，k 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值；
(3)交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0).
知1－讲
感悟新知
2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤：
(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式.
技巧提醒
特殊位置抛物线的表达式的求解技巧：
1. 顶点在原点，可设为y=ax2；
2. 对称轴是y 轴( 或顶点在y轴上)，可设为y=ax2+k；
3. 顶点在x轴上，可设为y=a(x － h)2；
4. 抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.
知1－讲
感悟新知
(2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程或方程组.
(3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值.
(4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式.
感悟新知
知1－练
如图2-3-1，抛物线y=ax2+bx+c 经过A(－1，0)，B(0，－3)，C(3，0)三点.
例 1
解题秘方：紧扣利用待定系数法求二次函数表达式的步骤解决问题.
感悟新知
知1－练
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
解：将A，B，C 三点的坐标代入y=ax2+bx+c 中，得
解得
∴该抛物线对应的函数表达式为y=x2－2x－3.
感悟新知
知1－练
(2)若该抛物线的顶点为D，求sin ∠ BOD 的值.
解：∵ y=x2－2x－3=(x－1)2－4 ，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－4).
如图2-3-1，过点D 作DH ⊥ y 轴于点H.
在Rt△ODH 中，∵ DH=1，OH=4，
∴由勾股定理得OD= =.
∴ sin ∠BOD= = .
感悟新知
知1－练
已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－2，3)，且图象与y 轴的交点在y 轴正半轴上距原点4 个单位长度处，求这个二次函数的表达式.
解题秘方：紧扣已知的顶点坐标，用待定系数法设出顶点式，求出函数的表达式.
例 2
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知1－练
解：由于此二次函数图象的顶点坐标为(－2，3)，可设函数表达式为y=a[x－(－2)]2+3，即y=a(x+2)2+3. 由于函数图象经过点(0，4)，因此将(0，4)代入y=a(x+2)2+3 中，解得a= .故这个二次函数的表达式为y=x2+x+4.
感悟新知
知1－练
已知抛物线与x 轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且抛物线经过点C(2，8)，求该抛物线对应的函数表达式.
例 3
解题秘方：紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式.
感悟新知
知1－练
解：∵抛物线与x 轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，
∴可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x+2)(x－1).
又∵抛物线经过点C(2，8 ) ，
∴把点C(2，8 )的坐标代入y=a(x+2)(x－1)中，
得8=a(2+2)×(2－1) ，∴ a=2.
故抛物线对应的函数表达式为y=2(x+2)(x－1) ，
即y=2x2+2x－4.
知识点
二次函数的简单应用
知2－讲
感悟新知
2
根据实际问题求二次函数表达式的步骤：
(1)先通过已知条件确定抛物线所经过的点的坐标；
(2)根据题意设出合适的二次函数表达式；
(3)用待定系数法和方程思想求出待定系数的值，从而确定二次函数的表达式.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
当实物模型呈抛物线状时，平面直角坐标系的位置决定二次函数表达式的类型.
感悟新知
知2－练
一施工队对某隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线的一部分，其最大高度为7 m，底部宽度OE 为14 m . 如图2-3-2，以点O 为原点，OE 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.
例 4
解题秘方：先用待定系数法求出函数表达式，再利用表达式表示出有关点的坐标和所求量，进而求出函数的最值.
感悟新知
知2－练
(1)写出顶点M 的坐标并求出抛物线的函数表达式.
解：由题意，得点M 的坐标为(7，7)，点E 的坐
标为(14，0).设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx，
则解得
故抛物线的函数表达式为y=－x2+2x.
感悟新知
知2－练
(2)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OE上.设OA为x m，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB 的长度之和为l m. 当x 为何值时，l 最大，最大值是多少？
知2－练
感悟新知
解：由题意知，点A 坐标为(x，0)，则点B，C，D 坐标分别为(14－x，0)， (14－x，－x2+2x )， (x，－x2+2x) .则l=AD+DC+CB= (－x2+2x )+(14－2x)+ (－x2+2x )=－x2+ 2x+14=－(x－)2+. ∵－＜ 0，∴当x=时，l 有最大值，最大值为 .
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1. 已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－1)，则b，c的值分别为(　　)
A. 2，2 B. －2，2
C. 2，0 D. －2，0
D
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2. 在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则m的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. 2 D. －2
A
x －2 －1 0 1 2 3 4
y 7 2 －1 －2 m 2 7
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3. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点(0，1)的抛物线的表达式：_____________________________.
y＝－x2＋2x＋1(答案不唯一)
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4. 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是________.
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5. [2024三门峡期中]如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，OB＝OC＝3OA，则该抛物线的表达式是______________.
y＝x2－2x－3
6. 过点(－2，3)，对称轴是直线x＝－1，且形状与抛物线 y＝－x2－2相同的抛物线的表达式为_____________________________.
y＝x2＋2x＋3或y＝－x2－2x＋3
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当a＝－1时，b＝－2，此时y＝－x2－2x＋c，将点(－2，3)的坐标代入y＝－x2－2x＋c，得3＝－1×(－2)2＋(－2)× (－2)＋c，解得c＝3，∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.故该抛物线的表达式为y＝x2＋2x＋3或y＝－x2－2x＋3.
7. [2024泰州期末]如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点A(0，3)，且经过点B(2，3).
(1)求此二次函数的表达式，并求出顶点坐标；
(2)若将该二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向下平移m个单位长度(m＞0)，平移后的抛物线仍然经过点B(2，3)，求m的值.
【解】根据题意，得平移后的抛物线表达式为y＝(x－ 1－m)2＋2－m，
将点B(2，3)的坐标代入上式，得(2－1－m)2＋2－m＝3，
解得m1＝3，m2＝0. ∵m＞0，∴m＝3.
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8. 小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图①，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径(AB)为 20 m，水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱OM，在圆形喷水池的周围安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线形，水柱在距水池中心4 m处到达
最大高度6 m，从各方向喷出的水柱在
石柱顶部的中心点M处汇合，
小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图②，则OM的高度是(　　)
课堂小结
确定二次函数的表达式
确定二次函数的表达式
已知条件的
呈现方式
一般式
顶点式
交点式
关键
谢谢观看！

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