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2.4 二次函数的应用
第二章　二次函数
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
二次函数的概念
给出几个具体的实际问题，引导学生列出函数关系式。
问题 1：正方体的棱长为

x
，表面积

y
与棱长

x
之间的关系。学生很容易得出

y=6x
2
。 y=20(1+x)
2
=20x
2
+40x+20相同点：都是用自变量的代数式表示函数。
不同点：

y=6x
2
和

y=20x
2
+40x+20
中自变量的最高次数是

2
，而

y=4x
中自变量的最高次数是

1
。
给出二次函数的定义：一般地，形如

y=ax
2
+bx+c
（

a
，

b
，

c
是常数，

a
?
=0
）的函数，叫做二次函数。其中
x
元，商场平均每天盈利

y
元。、余弦和正切函数的定义，先求出 AC 的长度（利用勾股定理 AC = \(\sqrt{AB^{2} - BC^{2}}\) = \(\sqrt{25 - 9}\) = 4），再代入公式计算。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
用二次函数解实际问题
1. 常用方法
利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象与性质去解决问题.
知1－讲
感悟新知
2. 一般步骤
(1)审：仔细审题，理清题意；
(2)找：找出问题中的变量和常量；
(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题；
(4)解：根据已知条件，借助二次函数的表达式、图象与性质等求解实际问题；
(5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论.
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知1－练
[中考·宿迁] 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元)，每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加2 元，每天销售量会减少1 件，设销售单价增加x 元，每天售出y 件．
例 1
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知1－练
(1)请写出y 与x 之间的函数表达式.
解：y=50－.
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知1－练
(2)当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250 元？
解：由题意得(40+x)=2 250，
解得x1=10，x2=50.
因为x+40 ≤ 60，所以x ≤ 20，所以x=10.
故当x 为10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2 250 元.
销售量×单个利润=总利润
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(3)设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？
解：由题意得w=(40+x) =－(x－30)2+2 450.
因为－<0，所以当x<30 时，w 随x 的
增大而增大.因为0 ≤ x ≤ 20，所以当x=
20 时w 最大，最大值是2 400.
温馨提示：当顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时，最值不能在顶点处取.
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1-1. 已知某商店所销售的毛绒玩具每件的进价为30 元，在某段时间内若以每件x元(30≤x≤50，且x 为整数)出售，可卖出(50－x)件. 若要使该商店销售该玩具的利润最大，每件的售价为( )
A. 35 元 B. 40 元 C. 45 元 D. 48 元
B
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如图2-4-1，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场
ABCD，其中∠ C=120°．若新建墙BC 与CD 总长为12 m，求该梯形储料场ABCD 的最大面积.
例 2
解题秘方：紧扣求图形面积的方法建立二次函数关系，利用二次函数的性质解决面积最值问题.
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解：如图2-4-2，过点C 作CE ⊥ AB 于E，设CD=x m，
梯形储料场ABCD 的面积为S m2，则BC=(12－x)m.
易知四边形ADCE 为矩形，∴AD=CE，CD=AE=x m，
∠ DCE=90°，
∴∠ BCE= ∠ BCD－∠ DCE=30°.
在Rt△CBE 中，
∵∠ CEB=90°，∠ BCE=30°，
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∴ BE=BC=(6－x)m，∴ AD=CE=(6－x)m，
AB=AE+BE=x+6－x=( x+6)m，∴ S=(CD+AB)·AD= (x+x+6 )·(6－x)=－(x－4)2+ 24. ∴当x=4 时，S 取得最大值，S最大值=24．∴当CD 长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大，最大面积为24m2．
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2-1. [中考·菏泽] 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120 米.
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(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
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知1－练
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[中考·衢州]某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 m 处达到最高，高度为5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合. 如图2-4-3 所示，以水平方
向为x轴，喷水池中心为
原点建立直角坐标系.
例 3
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(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.
解：设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x－3)2+5(a ≠ 0)，将点(8，0)的坐标代入y=a(x－3)2+ 5，得25a+5=0，解得a=－ . ∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=－(x－3)2+5(0感悟新知
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(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
解：当y=1.8 时，有－ (x－3)2+5=1.8，
解得x1=－1(舍去)，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心7 m 以内.
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(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施进行如下扩建改造：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
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解：当x=0 时，y=－×(0－3)2+5=.
设扩建改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=－x2+bx+. ∵该函数图象过点(16，0)，∴ 0=－× 162+16b+ ，解得b=3. ∴扩建改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=－x2+3x+=－ (x－)2+ . ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为m.
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3-2. [中考· 滨州]如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出. 小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力， 小球的飞行高度y(单位：m) 与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y=－5x2+20x，请根据要求解答下列问题.
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知1－练
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行的时间是多少？
解：当y＝15时，15＝－5x2＋20x，
解得x1＝1，x2＝3.
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是1 s或3s.
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知1－练
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
解：当y＝0时，0＝－5x2＋20x，
解得x1＝0，x2＝4.
4－0＝4(s)．
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
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(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20.
∴当x＝2时，y取得最大值，y最大值＝20.
答：在飞行过程中，2 s时小球飞行高度最大，最大高度是20 m．
1. 如图，若用长10 m的铁丝借助墙AB围成一个斜边为ED的直角三角形ECD，则所围成的△ECD的最大面积为(　　)
A. 5.5 m2 B. 7.5 m2
C. 10.5 m2 D. 12.5 m2
【答案】D
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2. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示(1 cm对应一个单位长度)，AB∥x轴，AB＝4 cm，最低点C，F在x轴上，CH⊥AB且CH＝1 cm，BD＝2 cm.则轮廓线DFE所在抛物线对应的函数表达式为(　　)
【点拨】∵AB∥x轴，CH⊥AB且CH＝1 cm，BD＝2 cm，且B，D关于y轴对称，∴点D的坐标为(1，1)．∵AB∥x轴，最低点C在x轴上，∴A，B关于直线CH对称．又∵AB＝ 4 cm，∴左边抛物线的顶点C的坐标为(－3，0)．∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3，0)．
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【答案】B
3. [教材P48习题T4]中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽AB为20 m，由于持续降雨，水位上升3 m，此时水面CD宽为10 m，则水面距拱顶的距离OE的长为________.
1 m
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4. 如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2).
(1)写出y与x，S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围).
【解】∵2x＋y＝80，∴y＝－2x＋80.
∵S＝xy，∴S＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x.
(2)矩形实验田的面积能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.
【解】矩形实验田的面积能达到750 m2.
∵0当S＝750时，－2x2＋80x＝750，
解得x1＝25，x2＝15(舍去)．
∴当x＝25时，矩形实验田的面积为750 m2.
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？
【解】∵S＝－2x2＋80x＝－2(x2－40x)＝－2(x2－40x＋400－400)＝－2(x－20)2＋800，
∴当x＝20时，矩形实验田的面积最大，最大面积是800 m2.
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课堂小结
二次函数的应用
实际问题
图形面积
抛物线型
数学模型
分类
利润问题
转化
二次
函数
增减性
最值
谢谢观看！

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