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(共26张PPT)
3.2 圆的对称性
第三章 圆
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示生活中各种含有圆的图片，如车轮、摩天轮、圆形建筑等，引导学生观察并思考圆在生活中的广泛应用。
提问：“大家知道为什么车轮要做成圆形，而不是方形或其他形状呢？” 引发学生的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的主题 —— 圆。
（二）讲授新课（30 分钟）
圆的定义及相关概念
动手操作：让学生用圆规在纸上画一个圆，引导学生观察画圆的过程，总结圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。以点 O 为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆 O”。
介绍圆的其他相关概念，如直径、弦、弧（优弧、劣弧、半圆）等，并通过图形让学生直观理解。
垂径定理
探究活动：将一个圆形纸片沿着任意一条直径对折，观察折痕两侧的部分能否完全重合。引导学生发现圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
进一步探究：在圆上任意画一条弦 AB，作直径 CD 垂直于 AB，垂足为 E。测量 AE、BE、弧 AC、弧 BC、弧 AD、弧 BD 的长度，你能发现什么规律？
猜想结论：垂径定理 —— 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
证明定理：引导学生结合图形，利用等腰三角形三线合一的性质进行证明。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆心角、弧、弦之间的关系定理
展示圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
探究活动：在同圆或等圆中，分别画出相等的圆心角∠AOB 和∠COD，观察它们所对的弧 AB 与弧 CD、弦 AB 与弦 CD 之间的关系。
猜想结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
证明定理：通过旋转、叠合等方法进行证明。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
圆周角定理及其推论
展示圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
探究活动：在圆中画出一个圆周角∠ACB 和它所对的弧 AB，再画出圆心角∠AOB，测量∠ACB 和∠AOB 的度数，你能发现它们之间的关系吗？改变圆周角的位置，重复上述操作，你有什么发现？
猜想结论：圆周角定理 —— 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
证明定理：分三种情况进行证明（圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部）。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆的对称性
1. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
2. 圆的中心对称性 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
3. 圆的旋转不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质就是圆的旋转不变性.
知1－讲
感悟新知
特别提醒：
因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.
感悟新知
知1－练
如图3-2-1，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，在AB上找一点P，使PC+PD最短，画出P点位置，不需要证明.
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣圆的轴对称性，作出点C关于直径AB的对称点是解题关键.
解：如图3-2-1，过点C作AB的垂线并延长，交⊙O于点C′，则点C与C′关于AB对称. 连接C′D，与AB的交点为P点，此时PC+PD最短.
知识点
圆心角、弧、弦之间的关系
知2－讲
感悟新知
2
1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
警示误区
不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
知2－讲
感悟新知
2. 示例 弧、弦、圆心角的关系
如图3-2-2，∠ AOB=∠ A′OB′ AB = A′B′，AB=A′B′.
︵
︵
感悟新知
知2－练
如图3-2-3，AB，CD 是⊙ O 的两条直径，弦CE ∥
AB，求证：BC = AE.
例 2
︵
︵
解题秘方：构造圆心角，利用“相等的圆心角所对的弧相等”证明
知2－练
感悟新知
证明：如图3-2-3，连接OE.
∵ OE=OC，∴∠ C= ∠ E.
∵ CE ∥ AB，
∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.
∴∠ BOC= ∠ AOE. ∴BC = AE.
︵
︵
知识点
圆心角、弧、弦之间关系的推论
知3－讲
感悟新知
3
1. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系(拓展)
在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.
知3－讲
感悟新知
拓宽视野
在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距关系：
感悟新知
知3－练
如图3-2-4，在⊙ O 中，AB = CD，有以下结论：
① AB=CD；② AC=BD；③∠ AOC= ∠ BOD；④AC = BD . 其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
例 3
︵
︵
︵
︵
知3－练
感悟新知
3-1. 如图， 已知AB，CD 是⊙ O 的两条弦，OE，OF 分别为AB，CD 的弦心距， 如果AB=CD，则可得出结论：____________________.
OE＝OF(答案不唯一)
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1. 下列说法中，不正确的是(　　)
A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
D
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2. 下列命题是真命题的是(　　)
A. 相等的弦所对的弧相等
B. 圆心角相等，其所对的弦相等
C. 在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D. 弦相等，它所对的圆心角相等
C
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3. [2024天津宁河区期末]已知圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为2 cm，则这条弦所对的圆心角的度数是(　　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
C
4. [2024无锡惠山区期中]如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的直径AB为(　　)
A. 5 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
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【答案】D
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5. 如图所示的三个圆是同心圆，那么图中阴影部分的面积为________. (结果保留π)
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64°
7. 如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC.求证：
返回
(2)AE＝CE.
课堂小结
圆的对称性
圆的对称性
轴对称性
中心对称性
圆心角、
弧、弦之
间的关系
推出
谢谢观看！

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