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(共27张PPT)
3.3 垂径定理
第三章 圆
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示生活中各种含有圆的图片，如车轮、摩天轮、圆形建筑等，引导学生观察并思考圆在生活中的广泛应用。
提问：“大家知道为什么车轮要做成圆形，而不是方形或其他形状呢？” 引发学生的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的主题 —— 圆。
（二）讲授新课（30 分钟）
圆的定义及相关概念
动手操作：让学生用圆规在纸上画一个圆，引导学生观察画圆的过程，总结圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。以点 O 为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆 O”。
介绍圆的其他相关概念，如直径、弦、弧（优弧、劣弧、半圆）等，并通过图形让学生直观理解。
垂径定理
探究活动：将一个圆形纸片沿着任意一条直径对折，观察折痕两侧的部分能否完全重合。引导学生发现圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
进一步探究：在圆上任意画一条弦 AB，作直径 CD 垂直于 AB，垂足为 E。测量 AE、BE、弧 AC、弧 BC、弧 AD、弧 BD 的长度，你能发现什么规律？
猜想结论：垂径定理 —— 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
证明定理：引导学生结合图形，利用等腰三角形三线合一的性质进行证明。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆心角、弧、弦之间的关系定理
展示圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
探究活动：在同圆或等圆中，分别画出相等的圆心角∠AOB 和∠COD，观察它们所对的弧 AB 与弧 CD、弦 AB 与弦 CD 之间的关系。
猜想结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
证明定理：通过旋转、叠合等方法进行证明。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
圆周角定理及其推论
展示圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
探究活动：在圆中画出一个圆周角∠ACB 和它所对的弧 AB，再画出圆心角∠AOB，测量∠ACB 和∠AOB 的度数，你能发现它们之间的关系吗？改变圆周角的位置，重复上述操作，你有什么发现？
猜想结论：圆周角定理 —— 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
证明定理：分三种情况进行证明（圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部）。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
垂径定理
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
特别提醒
1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段或直线.
2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
知1－讲
感悟新知
2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为
表述为 CD是直径
CD⊥AB
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感悟新知
知1－练
如图3-3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2，BD=，则AB 的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.
解：连接OD，如图3-3-2.
∵ CD ⊥ AB，CD=2，
∴ CH=DH=.
感悟新知
知1－练
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt △OHD 中，OH2+HD2=OD2，
即(r－1)2+()2=r2，
解得r=. ∴ AB=3.
利用勾股定理列方程
答案：B
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·东营]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就
是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥
CD，垂足为E，CE=1 寸，AB= 10 寸，
则直径CD的长度为 ______寸．
26
感悟新知
知1－练
如图3-3-3，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直
线AB 上的两点，且AC=BD.求证：△ OCD 为等腰三角形.
例 2
感悟新知
知1－练
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3.
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，
∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形.
知识点
垂径定理的推论
知2－讲
感悟新知
2
1. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
知2－讲
感悟新知
2. 示例 如图3-3-4，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = CB，AD = DB .可用几何语言表述为
CD是直径 CD⊥AB，
AE=BE AD = BD，
AB不是直径 AC = BC .
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感悟新知
知2－练
如图3-3-5，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为
AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
例 3
解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.
知2－练
感悟新知
证明：如图3-3-5，连接OM，ON，OA，OC.
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM.∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，∴ Rt△OAM ≌ Rt△OCN(HL).
∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图， ⊙ O 的弦AB=12，M 是AB 的中点， 且OM= 2， 则⊙ O 的半径等于________.
感悟新知
知2－练
4-1. [中考·广西] 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为(　　)
A. 20 m B. 28 m
C. 35 m D. 40 m
B
感悟新知
知2－练
如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径.
例 5
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.
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知2－练
感悟新知
解：连接OB，如图3-3-7.
∵点C 是AB的中点，
∴ OC⊥AB，AD=BD=AB=60 m.
设OB=OC=r m，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2,
∴ r2=(r－20)2+602，
∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为100 m.
︵
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1. [2024濮阳期末]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝4，OD＝3，则BD的长为(　　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 1
A
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2. 下列命题正确的有(　　)
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；
③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；
④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；
⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
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D
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8
5. 如图①所示为丁字尺，它是一种作图工具，可以看作由两把互相垂直的直尺组成，并且CD部分平分AB部分. 现在将丁字尺放在一个圆形工件上(圆心为O)，如图②所示，使得A，B，D分别落在⊙O
上，这样圆心O就会落在CD上，
已知AB＝CD＝8 cm，请求出该
圆形工件的半径.
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C
课堂小结
垂径定理
平分弦
垂径定理
垂径定理的推论
平分弦所
对的弧
垂直于弦
谢谢观看！

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