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(共31张PPT)
3.4 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示生活中各种含有圆的图片，如车轮、摩天轮、圆形建筑等，引导学生观察并思考圆在生活中的广泛应用。
提问：“大家知道为什么车轮要做成圆形，而不是方形或其他形状呢？” 引发学生的好奇心和探究欲望，从而引出本节课的主题 —— 圆。
（二）讲授新课（30 分钟）
圆的定义及相关概念
动手操作：让学生用圆规在纸上画一个圆，引导学生观察画圆的过程，总结圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。以点 O 为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆 O”。
介绍圆的其他相关概念，如直径、弦、弧（优弧、劣弧、半圆）等，并通过图形让学生直观理解。
垂径定理
探究活动：将一个圆形纸片沿着任意一条直径对折，观察折痕两侧的部分能否完全重合。引导学生发现圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
进一步探究：在圆上任意画一条弦 AB，作直径 CD 垂直于 AB，垂足为 E。测量 AE、BE、弧 AC、弧 BC、弧 AD、弧 BD 的长度，你能发现什么规律？
猜想结论：垂径定理 —— 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
证明定理：引导学生结合图形，利用等腰三角形三线合一的性质进行证明。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆心角、弧、弦之间的关系定理
展示圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
探究活动：在同圆或等圆中，分别画出相等的圆心角∠AOB 和∠COD，观察它们所对的弧 AB 与弧 CD、弦 AB 与弦 CD 之间的关系。
猜想结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
证明定理：通过旋转、叠合等方法进行证明。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
圆周角定理及其推论
展示圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
探究活动：在圆中画出一个圆周角∠ACB 和它所对的弧 AB，再画出圆心角∠AOB，测量∠ACB 和∠AOB 的度数，你能发现它们之间的关系吗？改变圆周角的位置，重复上述操作，你有什么发现？
猜想结论：圆周角定理 —— 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
证明定理：分三种情况进行证明（圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部）。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆周角
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角.
特征 圆周角必须满足两个条件：
①顶点在圆上；②两边都和圆相交.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
圆心角与圆周角的区别与联系：
名称 圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个
联系 两边都与圆相交
知1－讲
感悟新知
2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
如图3-4-1，∠ ACB=∠ AOB.
特别警示：定理中的圆周角与圆心
角是通过它们所对的同一条弧联系在一
起的，故不能把同一条弧这个前提省略.
感悟新知
知1－练
如图3-4-2，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若
∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
例 1
解题秘方：连接OC，将求BC所对的圆周角的度数转化为求BC所对的圆心角的度数来解.
︵
︵
感悟新知
知1－练
解：连接OC，如图3-4-2.
∵ BC=BD，
∴∠ BOC= ∠ BOD=50°.
∴∠ A=∠BOC= ×50°=25°.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·河南]如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ C=55°，则∠AOB的度数为(　　)
A. 95°
B. 100°
C. 105°
D. 110°
D
知识点
圆周角定理的推论
知2－讲
感悟新知
2
1. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
特别提醒
“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”，结论就不成立了.因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
知2－讲
感悟新知
2. 推论2 (1)直径所对的圆周角是直角；
(2)90°的圆周角所对的弦是直径.
3. “五量关系”定理(拓展归纳)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
感悟新知
知2－练
[中考·兰州]如图3-4-3，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O 的直径，∠ACD=40°，则∠B=（　　）
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
例 2
感悟新知
知2－练
2-1. [中考· 宜宾] 如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB 的中点．若∠BAC=35°，则∠AOB 等于(　　)
A. 140°
B. 120°
C. 110°
D. 70°
︵
A
感悟新知
知2－练
如图3-4-4，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延
长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
解题秘方：紧扣“直径所对的圆周角是直角”，结合等腰三角形“三线合一”的性质求解.
例 3
知2－练
感悟新知
证明：如图3-4-4，连接AD.
∵ AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC.
又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
感悟新知
知2－练
3-1. [中考· 珠海] 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=(　　)
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
B
感悟新知
知2－练
如图3-4-5，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且DE = BE，试判断△ABC的形状，并说明理由.
例 4
解题秘方：紧扣“等弧所对的圆周角相等”进行判断.
︵
︵
知2－练
感悟新知
解：△ABC为等腰三角形. 理由如下：
如图3-4-5，连接AE.
∵DE = BE ，∴∠CAE= ∠BAE.
∵ AB为半圆O的直径，
∴∠AEB= ∠AEC=90° .
又∵ AE=AE，∴△ABE ≌△ACE(ASA). ∴ AB=AC.
∴△ABC为等腰三角形.
︵
︵
知识点
圆内接四边形
知3－讲
感悟新知
3
1. 圆内接四边形
四边形ABCD 的四个顶点都在⊙ O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
特别解读
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
知3－讲
感悟新知
2. 圆周角定理的推论3
圆内接四边形的对角互补.
感悟新知
知3－练
[ 中考·常德]如图3-4-6，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( )
A. 50°
B. 80°
C. 100°
D. 130°
例 5
返回
1. 如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(　　)
A. ∠ADE
B. ∠AFE
C. ∠ABE
D. ∠ABC
C
返回
2. 如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A的度数为(　　)
A. 22°
B. 68°
C. 44°
D. 58°
C
返回
D
返回
4. [2024宿迁一模]如图，在⊙O中，∠AOB＝100°，点C在劣弧AB上. 若∠ABC＝18°，则∠BAC的度数为(　　)
A. 32°
B. 33°
C. 34°
D. 35°
A
5. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上安装________台这样的监视器.
3
返回
【点拨】监视器的监控角度是65°，即圆周角∠A＝65°，根据圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，可知对应的圆心角的度数为130°，因为360÷130＝2……100，所以要监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上安装3台这样的监视器．
6. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
返回
(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长.
课堂小结
圆周角和圆心角的关系
圆周角
直径所对的圆周角
圆内接四边形性质
定义
定理
谢谢观看！

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