资源简介

(共24张PPT)
24.2.2垂径分弦
第24章　圆
沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
（一）导入（5 分钟）
展示生活中各种圆形的物体图片，如车轮、硬币、钟面等。
提问学生：“在生活中，你们还见过哪些圆形的物体？这些圆形物体有什么共同特点？” 引导学生观察并思考，从而引出本节课的主题 —— 圆。
（二）圆的认识（10 分钟）
让学生用圆规在纸上画一个圆。
教师在黑板上画圆，并介绍画圆的方法及圆各部分的名称。
圆心：圆中心的一点，用字母 O 表示。圆心确定圆的位置。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母 r 表示。半径决定圆的大小。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母 d 表示。
组织学生分组讨论：在同一个圆里，半径和直径有什么关系？
学生汇报讨论结果，教师总结：在同一个圆里，有无数条半径，无数条直径，所有半径都相等，所有直径都相等，直径的长度是半径的 2 倍，即 d = 2r 或 r = d÷2。
（三）圆的周长（15 分钟）
展示一个圆形物体，提问学生：“什么是圆的周长？” 引导学生理解圆的周长就是围成圆的曲线的长度。
组织学生分组测量圆的周长。提供圆形纸片、直尺、绳子等工具，让学生尝试用不同的方法测量圆的周长。
学生汇报测量方法，教师总结并介绍滚动法和绕线法。
引导学生思考：圆的周长与什么有关？组织学生进行实验探究。测量不同大小圆的直径和周长，并计算周长与直径的比值。
学生汇报实验数据，教师展示表格并引导学生观察发现：圆的周长总是直径的 3 倍多一些。
介绍圆周率的概念：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母 π 表示。它是一个无限不循环小数，在实际应用中，通常取它的近似值 3.14。
推导出圆的周长计算公式：C = πd 或 C = 2πr。
出示例题，让学生运用公式计算圆的周长。
（四）圆的面积（15 分钟）
提问学生：“什么是圆的面积？” 引导学生理解圆所占平面的大小就是圆的面积。
引导学生思考：如何计算圆的面积？能不能把圆转化成我们学过的图形来计算？
组织学生分组操作：把一个圆形纸片平均分成若干份（如 16 份、32 份等），然后拼成一个近似的长方形。
展示不同份数拼成的近似长方形，让学生观察随着份数的增加，拼成的图形越来越接近长方形。
引导学生分析拼成的长方形与圆的关系：长方形的长相当于圆周长的一半（πr），长方形的宽相当于圆的半径（r）。
根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式：S = πr 。
出示例题，让学生运用公式计算圆的面积。
（五）巩固练习（10 分钟）
出示一些关于圆的特征、周长和面积计算的基础练习题，让学生独立完成。
展示一些生活中的实际问题，如计算圆形花坛的周长和面积、圆形桌面的面积等，让学生分组讨论并解决问题。
组织学生进行小组竞赛，出示一些难度稍大的综合性题目，看哪个小组做得又快又准。
（六）课堂总结（3 分钟）
与学生一起回顾本节课所学的主要内容，包括圆的特征、圆心、半径、直径的概念，圆的周长和面积计算公式等。
强调圆在生活中的广泛应用，鼓励学生在生活中多观察、多思考，运用所学的数学知识解决实际问题。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，你发现了什么？
O
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
合作探究
你能证明上面的结论吗？
证明：过点A作AA' CD，交⊙O于点A'，
垂足为M，连接OA，OA'
在△OAA'中，∵OA OA'
∴△OAA'是等腰三角形
又∵AA' CD
∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.
F
F'
E
E'
B
B'
证明
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
D
A
A'
M
O
⊙O关于直线CD对称
圆的对称性
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
如图，在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？
O
合作探究
C
D
A
B
E
猜想
CD AB
△AOB是等腰三角形
AE EB
三线合一
直径CD平分 ， .
CD AB
AE EB
合作探究
O
C
D
A
B
E
直径CD把劣弧 分成 与 两部分，把优弧 分成 与 两部分，这时 与 、 与 各有怎样的关系？
与 重合；
与 重合.
通过上面的探究，你能用语言描述你的发现吗？
交流
题设：
①CD是⊙O直径
②CD AB
①直径
②垂直于弦
E
C
O
A
B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
结论：
①平分弦
②平分弦所对的两条弧
①AE BE
② ，
归纳
思考
当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CD AB
O
A
B
C
D
E
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
为什么？
圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.
典型例题
例1：如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB为6 cm，求圆心O到弦AB的距离.
O
A
B
E
解：连接OA，过圆心O做OE AB，垂足为E.
AE EB
AB
6
3 (cm)
又∵OA 5 cm
∴在Rt△OEA中，有
OE

4 (cm)
即圆心O到弦AB的距离是4 cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距.
B
A
O
D
C
R
典型例题
例2：赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到0.1 m).
37.4 m
7.2 m
解：过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交 于点C，交AB于点D，则CD 7.2 m.
由垂径定理，得
AD
AB
37.4
18.7 (m)
设⊙O的半径为R m，在Rt△AOD中，AO R，OD R 7.2，AD 18.7.
由勾股定理得：AO2 OD2 AD2，
∴R2 (R 7.2)2 18.72
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m.
解得：R 27.9.
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1．下列说法中，不正确的是(　　)
A．圆是轴对称图形
B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
C
2．[2024·东莞一模]如图，在⊙O中，OD⊥AB，半径OD＝10，OC＝6，则弦AB＝(　　)
A．8
B．12
C．14
D．16
D
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A
3．[2024·杭州萧山区模拟]如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE＝(　　)
A．8 cm
B．5 cm
C．3 cm
D．2 cm
4．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
48
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6．江南水乡苏州现存100多座石拱桥．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为________m.
8
C
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C
9．下列说法：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③平分弦所对的一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分任意一条弦所对的两条弧的弦一定是直径．其中正确的是________．(填序号)
①④
简单计算
通常添加半径做辅助线，构造直角三角形，结合勾股定理进行计算或证明.
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
垂径定理
布置作业
教科书第25页
习题24.2第3、8题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
谢谢观看！

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