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(共27张PPT)
24.2.3圆心角、弧、弦、
弦心距间关系
第24章　圆
沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角；
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算；
3.在探索圆心角、弧、弦、弦心距的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题；
实验操作：给每个小组发放三角形纸片、方格纸、图钉等材料。让学生将三角形纸片固定在方格纸上的某一点（作为旋转中心），然后将三角形绕旋转中心顺时针旋转 90°，观察三角形旋转前后的位置变化，并在方格纸上画出旋转后的图形。
引导学生观察旋转前后的三角形，思考以下问题：
旋转前后三角形的形状和大小有没有改变？
对应点（如三角形的顶点）到旋转中心的距离有什么关系？
对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有什么关系？
小组讨论并汇报结果，教师进行总结：
图形旋转的性质：旋转前后图形的形状和大小不变。
对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
利用多媒体课件再次展示图形旋转的过程，从动态的角度进一步验证这些性质，加深学生的理解。
（四）在方格纸上画出旋转后的图形（15 分钟）
以在方格纸上将一个简单图形（如直角三角形）绕某一顶点顺时针旋转 90° 为例，教师进行详细的示范讲解。
首先确定旋转中心（直角三角形的一个顶点）。
然后找到三角形的另外两个顶点，分别将这两示一个圆形物体，提问学生：“什么是圆的周长？” 引导学生理解圆的周长就是围成圆的曲线的长度。
组织学生分组测量圆的周长。提供圆形纸片、直尺、绳子等工具，让学生尝试用不同的方法测量圆的周长。
学生汇报测量方法，教师总结并介绍滚动法和绕线法。
引导学生思考：圆的周长与什么有关？组织学生进行实验探究。测量不同大小圆的直径和周长，并计算周长与直径的比值。
学生汇报实验数据，教师展示表格并引导学生观察发现：圆的周长总是直径的 3 倍多一些。
介绍圆周率的概念：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母 π 表示。它是一个无限不循环小数，在实际应用中，通常取它的近似值 3.14。
推导出圆的周长计算公式：C = πd 或 C = 2πr。
出示例题，让学生运用公式计算圆的周长。个顶点与旋转中心相连。
根据旋转方向（顺时针）和旋转角度（90°），通过数方格的方法确定这两个顶点旋转后的位置。
最后将旋转后的三个顶点依次连接起来，得到旋转后的三角形。
让学生模仿教师的方法，在方格纸上练习将一个简单图形绕给定旋转中心旋转 90°，教师巡视指导，及时纠正学生在画图过程中出现的问题。
提高难度，让学生尝试在方格纸上画出简单图形绕给定旋转中心旋转 180° 后的图形，进一步巩固学生的画图技能。
组织学生进行小组交流，展示各自画出的旋转后的图形，互相评价并交流画图的经验和技巧。
（五）巩固练习（10 分钟）
出示一些关于图形旋转要素、性质判断的基础练习题，如选择题、填空题，让学生独立完成，巩固对基础知识的掌握。
展示一些方格纸上的图形旋转问题，要求学生画出图形绕指定旋转中心旋转一定角度后的图形，然后同桌之间互相检查批改。
给出一些生活中的实际问题，如设计一个旋转图案、根据旋转后的图形推测旋转前的图形等，让学生分组讨论并解决问题，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
（六）课堂总结（3 分钟）
与学生一起回顾本节课所学的主要内容，包括图形旋转的概念、三要素、性质以及在方格纸上画旋转后图形的方法。
强调图形旋转在生活中的广泛应用，鼓励学生在日常生活中多观察、多发现图形旋转的现象，运用所学的数学知识去分析和解决问题
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
O
在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心将上面一个圆旋转180°，两个圆还能重合吗？
合作探究
O'
对称中心为圆心.
圆是中心对称图形，
完全重合
180°
在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？
合作探究
(O')
O
30°
60°
120°
210°
旋转中心为圆心.
圆不仅是中心对称图形，还是旋转对称图形，
把圆绕圆心旋转任意一个角度，两个圆仍然完全重合.
观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？
思考
O
A
B
O
C
D
O
E
F
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
探究
∵ AOB A'OB'，
∴ BOB' A'OB' A'OB，
AOB A'OB α.
∴线段OB与线段OB'重合.
又∵OA OA'， OB OB'，
∴旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合.
在⊙O中，当圆心角∠AOB ∠A'OB'时，它们所对的弧
和 ，弦AB和弦A'B'、弦心距OM和弦心距OM'之间有怎样的关系？
解：根据圆的旋转对称性，把 AOB连同 绕圆心O旋转，使线段OA与OA'重合，设 A'OA a.
O
A'
B'
A
B
M
M'
α
在⊙O中，当圆心角∠AOB ∠A'OB'时，它们所对的弧
和 ，弦AB和弦A'B'、弦心距OM和弦心距OM'之间有怎样的关系？
O
A'
B'
A
B
M
M'
α
与 重合；
AB与A'B'重合；
弦心距OM与OM'重合.
点A与点A'重合；点B与点B'重合
AB=A'B'
OM=OM'
通过上面的探究，你能用语言描述所得的结论吗？
交流
探究
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
在等圆中，上述结论是否仍成立？
O
A'
B'
M'
A
B
M
O
O
A'
B'
A
B
M
M'
α
思考
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
归纳
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
O
A'
B'
A
B
M
M'
∠AOB ∠A'OB'
AB=A'B'
OM=OM'
典型例题
例1：如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O上.
求证： AOB BOC COA 120°.
A
B
C
O
证明：连接OA，OB，OC.
∵AB BC CA，
∴ AOB BOC COA
360° 120°.
圆心角相等
弦相等
分析：
圆心角、弧、弦、弦心距的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
K
K'
典型例题
例2：已知：如图，点O是∠FAD平分线上的一点，☉O分别交∠FAD的两边于点C，D和点E，F.
求证：CD=EF.
证明：过点O作OK CD，OK' EF，垂足分别为K，K'.
∵OK OK'，(角平分线性质)
∴CD EF.
O
A
D
E
F
C
弦相等
弦心距相等
分析：
典型例题
例3：如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE//AB， 为40°，求 BOD的度数.
O
C
E
B
A
D
解：连接OE.
∵ 为40°，
∴ COE 40°，
∵OC OE，
∴ C 70°.
∵CE//AB，
∴ AOD C 70°.
∴ BOD 180° 70° 110°.
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1．[2024·泉州五中期中]下列图形中的角是圆心角的是(　　)
B
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D
返回
3．[2024·上海静安区二模]对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是(　　)
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
A
【答案】C
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5．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果⊙O的半径为8 cm，那么弦AB＝________ cm.
8
①②③
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7．[2024·南宁一模]如图，当一个摆钟的钟摆OA从最左侧处摆到最右侧OB处时，摆角∠AOB＝2α，点C是弧AB的中点，连接OC交AB于点D，若OA＝20 cm，则AB的长为________cm.(结果用到α相关的三角函数)
40sin α
圆的对称性
圆不仅是中心对称图形，还是旋转对称图形，旋转中心是圆心.
弧的度数
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.
教科书第25页
练习第6、7题
谢谢观看！

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