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(共31张PPT)
24.3.1圆周角定理及其推论
第24章　圆
沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解圆周角的概念；
2.掌握圆周角定理及其推论，并会熟练运用它们解决问题；
（一）导入（5 分钟）
展示生活中各种圆形的物体图片，如车轮、硬币、钟面等。
提问学生：“在生活中，你们还见过哪些圆形的物体？这些圆形物体有什么共同特点？” 引导学生观察并思考，从而引出本节课的主题 —— 圆。
（二）圆的认识（10 分钟）
让学生用圆规在纸上画一个圆。
教师在黑板上画圆，并介绍画圆的方法及圆各部分的名称。
圆心：圆中心的一点，用字母 O 表示。圆心确定圆的位置。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母 r 表示。半径决定圆的大小。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母 d 表示。
组织学生分组讨论：在同一个圆里，半径和直径有什么关系？
学生汇报讨论结果，教师总结：在同一个圆里，有无数条半径，无数条直径，所有半径都相等，所有直径都相等，直径的长度是半径的 2 倍，即 d = 2r 或 r = d÷2。
（三）圆的周长（15 分钟）
展示一个圆形物体，提问学生：“什么是圆的周长？” 引导学生理解圆的周长就是围成圆的曲线的长度。
组织学生分组测量圆的周长。提供圆形纸片、直尺、绳子等工具，让学生尝试用不同的方法测量圆的周长。
学生汇报测量方法，教师总结并介绍滚动法和绕线法。
引导学生思考：圆的周长与什么有关？组织学生进行实验探究。测量不同大小圆的直径和周长，并计算周长与直径的比值。
学生汇报实验数据，教师展示表格并引导学生观察发现：圆的周长总是直径的 3 倍多一些。
介绍圆周率的概念：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母 π 表示。它是一个无限不循环小数，在实际应用中，通常取它的近似值 3.14。
推导出圆的周长计算公式：C = πd 或 C = 2πr。
出示例题，让学生运用公式计算圆的周长。
（四）圆的面积（15 分钟）
提问学生：“什么是圆的面积？” 引导学生理解圆所占平面的大小就是圆的面积。
引导学生思考：如何计算圆的面积？能不能把圆转化成我们学过的图形来计算？
组织学生分组操作：把一个圆形纸片平均分成若干份（如 16 份、32 份等），然后拼成一个近似的长方形。
展示不同份数拼成的近似长方形，让学生观察随着份数的增加，拼成的图形越来越接近长方形。
引导学生分析拼成的长方形与圆的关系：长方形的长相当于圆周长的一半（πr），长方形的宽相当于圆的半径（r）。
根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式：S = πr 。
出示例题，让学生运用公式计算圆的面积。
（五）巩固练习（10 分钟）
出示一些关于圆的特征、周长和面积计算的基础练习题，让学生独立完成。
展示一些生活中的实际问题，如计算圆形花坛的周长和面积、圆形桌面的面积等，让学生分组讨论并解决问题。
组织学生进行小组竞赛，出示一些难度稍大的综合性题目，看哪个小组做得又快又准。
（六）课堂总结（3 分钟）
与学生一起回顾本节课所学的主要内容，包括圆的特征、圆心、半径、直径的概念，圆的周长和面积计算公式等。
强调圆在生活中的广泛应用，鼓励学生在生活中多观察、多思考，运用所学的数学知识解决实际问题。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
回顾
A
B
O
圆心角
A
B
C
O
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有什么位置关系？
观察思考
如图，△ABC内接于⊙O，观察图中的 A，它有什么特点？
A
B
C
O
1.顶点在圆上；
2.角的两边与圆各另有一个公共点.
顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
缺一不可
判断下列各图中，哪些是圆周角？
想一想
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
抢答
A
B
C
O
思考
如图，△ABC是⊙O的任一内接三角形. BAC和∠BOC的大小有什么关系吗？
100°
50°
猜想
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
你能证明这个猜想吗
思考
以⊙O上任一点A为顶点的圆周角有无数多个，按圆心与圆周角的位置关系，分为三种情况：
1.圆心在圆周角的一边上，如图(1)；
2.圆心在圆周角的内部，如图(2)；
3.圆心在圆周角的外部，如图(3).
A
B
O
C
(1)
A
B
O
C
(2)
A
B
O
C
(3)
分类讨论
证明
A
B
O
C
(1)
在第(1)种情况下，如何证明 ？
OA OC
∠A ∠C
∠BOC ∠A ∠C
尝试完成第(2)、(3)种情况的证明.
证明
A
B
O
C
(2)
D
A
B
O
C
(3)
D
归纳
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
A
B
O
C
(1)
A
B
O
C
(2)
A
B
O
C
(3)
思考
“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？
A
B
O
∠AC1B ∠AC2B ∠AC3B
C2
C1
C3
∠AC1B ∠AC2B ∠AC3B
思考
“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？
∠ADC ∠BAD
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
等弧
B
A
O
D
C
∠AOC ∠BOD
思考
反过来，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那它们所对的弧相等吗？
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
B
A
O
D
C
ADC BAD
AOC BOD
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理及其推论
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳
分析：
典型例题
例1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ACD 60°， ADC 70°. 求∠APC的度数.
O
A
D
C
P
B
解：连接BC，则 ACB 90°，
DCB ACB ACD 90° 60° 30°.
又∵ BAD ∠DCB 30°，
∴ APC BAD ADC 30° 70° 100°.
APC BAD ADC
70°
ACB ACD
BCD

90°

60°

返回
1．下列各图中，∠BAC为圆周角的是(　　)
D
2．[2024·湖南]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　)
A．60°
B．75°
C．90°
D．135°
返回
C
返回
D
3．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝(　　)
A．80°
B．100°
C．120°
D．110°
4．[2024·温州模拟]如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，则∠OCB＝(　　)
A．40°
B．50°
C．60°
D．65°
返回
【答案】 B
5．[2023·枣庄]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为(　　)
A．32°
B．42°
C．52°
D．62°
返回
A
返回
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠B＝20°，则∠CAD的度数是(　　)
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝________．
100°
【点拨】∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°.
又∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°－∠CAD－∠ACD＝180°－30°－50°＝100°.
返回
【点拨】如图，延长AO交⊙O于点E，连接DE，
∵AE是直径，∴∠ADE＝90°.
∵OA与OB互相垂直，
∴∠AOC＝90°＝∠ADE.
返回
9．有一题目：“已知点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC.如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(　　)
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就是65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同的值
A
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圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
圆周角定理及其推论
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
圆周角
教科书第31页
习题24.3第1、2题
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