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(共29张PPT)
24.4.3切线长定理
第24章　圆
沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解切线长的定义及切线长定理；
2.学会运用切线长定理进行计算与证明；
（一）导入（5 分钟）
展示生活中各种圆形的物体图片，如车轮、硬币、钟面等。
提问学生：“在生活中，你们还见过哪些圆形的物体？这些圆形物体有什么共同特点？” 引导学生观察并思考，从而引出本节课的主题 —— 圆。
（二）圆的认识（10 分钟）
让学生用圆规在纸上画一个圆。
教师在黑板上画圆，并介绍画圆的方法及圆各部分的名称。
圆心：圆中心的一点，用字母 O 表示。圆心确定圆的位置。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母 r 表示。半径决定圆的大小。
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母 d 表示。
组织学生分组讨论：在同一个圆里，半径和直径有什么关系？
学生汇报讨论结果，教师总结：在同一个圆里，有无数条半径，无数条直径，所有半径都相等，所有直径都相等，直径的长度是半径的 2 倍，即 d = 2r 或 r = d÷2。
（三）圆的周长（15 分钟）
展示一个圆形物体，提问学生：“什么是圆的周长？” 引导学生理解圆的周长就是围成圆的曲线的长度。
组织学生分组测量圆的周长。提供圆形纸片、直尺、绳子等工具，让学生尝试用不同的方法测量圆的周长。
学生汇报测量方法，教师总结并介绍滚动法和绕线法。
引导学生思考：圆的周长与什么有关？组织学生进行实验探究。测量不同大小圆的直径和周长，并计算周长与直径的比值。
学生汇报实验数据，教师展示表格并引导学生观察发现：圆的周长总是直径的 3 倍多一些。
介绍圆周率的概念：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母 π 表示。它是一个无限不循环小数，在实际应用中，通常取它的近似值 3.14。
推导出圆的周长计算公式：C = πd 或 C = 2πr。
出示例题，让学生运用公式计算圆的周长。
（四）圆的面积（15 分钟）
提问学生：“什么是圆的面积？” 引导学生理解圆所占平面的大小就是圆的面积。
引导学生思考：如何计算圆的面积？能不能把圆转化成我们学过的图形来计算？
组织学生分组操作：把一个圆形纸片平均分成若干份（如 16 份、32 份等），然后拼成一个近似的长方形。
展示不同份数拼成的近似长方形，让学生观察随着份数的增加，拼成的图形越来越接近长方形。
引导学生分析拼成的长方形与圆的关系：长方形的长相当于圆周长的一半（πr），长方形的宽相当于圆的半径（r）。
根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式：S = πr 。
出示例题，让学生运用公式计算圆的面积。
（五）巩固练习（10 分钟）
出示一些关于圆的特征、周长和面积计算的基础练习题，让学生独立完成。
展示一些生活中的实际问题，如计算圆形花坛的周长和面积、圆形桌面的面积等，让学生分组讨论并解决问题。
组织学生进行小组竞赛，出示一些难度稍大的综合性题目，看哪个小组做得又快又准。
（六）课堂总结（3 分钟）
与学生一起回顾本节课所学的主要内容，包括圆的特征、圆心、半径、直径的概念，圆的周长和面积计算公式等。
强调圆在生活中的广泛应用，鼓励学生在生活中多观察、多思考，运用所学的数学知识解决实际问题。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察悠悠球转动时的内部结构，从中你能抽象出什么样的数学图形？
观察思考
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形
被拉直的线绳可抽象成线段
这些图形有怎样的位置关系？
相切
复习回顾
还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？
∟
o
P
l
作法：
(1)连接OP；
(2)过点P作直线l⊥OP，
则直线l即为所作.
如何过圆外一点作已知圆的切线呢？
O.
P
合作探究
如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作直线与⊙O相切
B
A
过圆外一点能够作圆的两条切线
作法：
(1)连接OP.
(2)以OP为直径作圆，设此圆
交⊙O于点A，B.
(3)连接PA，PB.
则直线PA，PB即为所作.
直径所对的圆周角是直角
O.
P
B
A
切线长
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
归纳
切线长和切线有什么区别？
切线是直线，不能度量.
切线长是圆外一点到切点之间的线段长，可以度量．
1
2
探究
在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？
PA=PB
∠APO=∠BPO
你能证明你的猜想吗？
猜想：
探究
证明：连接OA，OB
∵PA和PB是⊙O 的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌ Rt△BOP.
∴PA=PB, ∠APO=∠BPO
∟
∟
在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？
试着完成这个证明
归纳
文字语言
符号语言
过圆外一点作圆的
切线，两条切线长 ，圆心与这一点的连线 两条切线的夹角.
∵PA、PB分别与☉O 相切于点A、B，
∴ PA = PB，
∠OPA=∠OPB.
两条
相等
切线长定理
平分
典型例题
【例】已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和☉O分别相切于点E，F，G，H.
求证： AB+CD=DA+BC.
证明：∵ AB、BC、CD、 DA都与☉O相切，E，F，G，H是切点，
∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即 AB+CD=DA+BC.
A
C
E
D
F
O
B
G
H
转化思想
1．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．
1
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2．[2024·淮南七中月考]如图，直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，PA＝PB＝4 cm，△PMN的周长是________．
8 cm
【点拨】∵直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，∴AM＝DM，BN＝DN.
∵PA＝PB＝4 cm，
∴△PMN的周长是PM＋PN＋MN＝PM＋PN＋DM＋DN＝(PM＋DM)＋(PN＋DN)＝(PM＋AM)＋(PN＋BN)＝AP＋BP＝8 cm.故答案为8 cm.
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3．[2024·常州钟楼区月考]如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，BC＝2，则PA的长为________．
【点拨】如图，连接AB.
∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，
∴PA⊥AC，PA＝PB.∴∠PAC＝90°.
∵∠P＝60°，∴△PAB为等边三角形.
∴AB＝PA，∠PAB＝60°.∴∠BAC＝30°.
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4. 如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　)
A．56°
B．60°
C．68°
D．70°
【点拨】如图，连接AD.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∵∠BAE＋∠BCD＝236°，
∴∠EAD＋∠BAD＋∠BCD＝∠EAD＋180°＝236°.
∴∠EAD＝56°.
∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，
∴EA＝ED.∴∠EDA＝∠EAD＝56°.
∴∠E＝180°－∠EDA－∠EAD＝180°－56°－56°＝68°.
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【答案】 C
5．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】∵ PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO, 故①正确.
∴PO⊥AB, 故②正确.
∵ PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
∴点A，B在以OP为直径的圆上.
∴四边形OAPB有外接圆，故③正确.
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定是△AOP外接圆的圆心，故④错误.
故选C.
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【答案】 C
6．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为(　　)
A．28°
B．50°
C．56°
D．62°
【点拨】如图，连接OB.∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝28°.∴∠AOB＝124°.
∵PA，PB切⊙O于A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB.
∴∠OAP＋∠OBP＝180°.
∴∠APB＋∠AOB＝180°.
∴∠APB＝56°.故选C.
【答案】 C
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切线长：
切线长定理
切线长定理：
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
教科书第40-41页
习题24.4
第9、10题
谢谢观看！

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