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27.4 正多边形与圆
第27章 圆
华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系
教学重点
圆的定义及圆的基本元素的概念，尤其是帮助学生区分相似概念，如弦与直径、优弧与劣弧等。
同圆或等圆中半径相等这一性质的理解和应用，通过多样化的例题让学生熟练掌握该性质在不同情境下的运用。
教学难点
对圆的集合定义的深入理解，通过具体的点的位置判断、动态演示等方式，让学生真正领会平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
灵活运用圆的基本元素的性质解决综合性相关问题，通过逐步引导和练习，提升学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学方法
讲授法：以清晰、准确且生动的语言，向学生系统讲解圆的定义、基本元素的概念及相关性质，确保学生扎实掌握基础知识。在讲解过程中，注重概念的引入和解释，让学生理解知识的来龙去脉。
直观演示法：充分利用多媒体课件、圆规、直尺等工具，通过动态演示、实物操作等方式，直观展示圆的形成过程、各基本元素的特征，帮助学生建立直观且深刻的认识。例如用动画展示圆的集合定义的形成过程。
小组合作探究法：精心组织学生进行小组讨论和合作探究活动，设置有启发性的问题，让学生在交流互动中深化对圆的基本元素的理解，培养学生的合作能力和探究精神。如让小组探究同圆中不同弦长与圆心距离的关系。
练习巩固法：设计针对性强、层次分明的练习题，从基础到提高再到拓展，让学生及时巩固所学知识，逐步提高学生运用知识解决问题的能力。同时，在练习过程中及时反馈和指导，帮助学生查漏补缺。
问题引导法：在教学过程中，适时提出有思考价值的问题，引导学生主动思考、积极探索，培养学生的思维能力。如在讲解圆的基本元素时，提问学生生活中哪些现象可以用这些元素来解释。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
运用多媒体展示生活中各种含有圆的精美图片，如车轮、摩天轮、圆形餐盘、奥运五环等，同时播放一些与圆相关的动态视频，如旋转的风扇、滚动的篮球等。
提问：同学们，在我们五彩斑斓的生活中，圆无处不在。大家仔细观察这些图片和视频，开动脑筋想一想，为什么车轮要做成圆形，而不是三角形、方形等其他形状呢？圆形的车轮在滚动过程中有什么独特的优势呢？
鼓励学生大胆发言，分享自己的想法，然后引导学生进行简单的讨论和交流，引发学生对圆的强烈好奇心和探究欲望，从而自然地引出本节课的课题 —— 圆的基本元素。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察这些图片，你看到了哪些正多边形
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
正多边形是轴对称图形；
当边数为偶数时，正多边形也是中心对称图形.
复习回顾：
圆既是轴对称图形又是旋转对称图形.
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
正六边形
正方形
正五边形
探究一 正多边形与圆的有关概念
以圆的内接正五边形为例证明.如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
∴AB=BC=CD=DE=EA
∴∠A=∠B
∵∠B=∠C=∠D=∠E
又五边形ABCDE的顶点都在圆上,
∵AB= BC= CD= DE= EA
）
）
）
）
）
BCE=3AB=CDA
）
）
）
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
E
A
B
C
D
正五边形
O
定义：我们把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
半径R
内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
边心距r
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.
正多边形的每个中心角都等于
正五边形
O
中心角
例1：有一个亭子,它的地基是边长为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
B
∴它的中心角等于360°÷6=60°，△OBC是等边三角形，而正六边形的边长等于它的半径.
解：如图所示 .连接OB，OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
因此亭子地基的周长l=6×4=24（m）
过点O作OP⊥BC于P.
在Rt△OPC中,OC＝4m,PC＝2m
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
O
A
B
C
D
E
F
P
r
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
方法归纳
探究二 正多边形与圆的关系
问题：如图，把☉O进行5等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE .分别过
点A，B，C，D，E作☉O的切线，切线交于点P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形PQRST.五边形ABCDE及五边形PQRST是正多边形吗？
·
O
A
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
·
O
A
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
①
② AB____BC____CD____DE____AE.
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
④ ∠A___∠B___∠C___∠D___∠E.
＝
＝
＝
＝
③
＝
＝
＝
＝
∵ 顶点A，B，C，D，E都在☉O上，
∴ 五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.
·
O
A
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
∴ 连接OA，OB，OC.
则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的☉O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵AB=BC，∴ △PAB≌△QBC，
∴ ∠P=∠Q，PQ=2PA.
同理，得∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=2PA.
∵五边形PQRST的各边与☉O相切，
∴五边形PQRST是☉O的外切正五边形.
把圆分成n（n＞2）等份，依次连接过等分点作圆的切线，各切线相交所得
的多边形就是这个圆的一个外切正n边形.
归纳总结
把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的一个
内接正n边形.
思考：如何用等分圆周的方法作出正多边形？
由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在一个圆中，先用量角器作一个
等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆周上依次
截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形(正五角星就是
这样作出的).
(2)用尺规等分圆周
对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等分圆周.
(1)用量角器等分圆周
O
A
D
B
F
C
E
解：内接正六方形的做法：
(1)用直尺作圆的一条直径AD；
(2)以点A为圆心,OA为半径作圆,与⊙O交于点B、F；
(4)顺次连接所得的圆上六点.
六边形ABCDEF即为所求作的正六边形.
(3)以点D为圆心，OD为半径作圆，与⊙O交与点C、E.
例2.利用尺规作图，作出已知圆的内接正六边形.
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1．以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
C
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B
4．[2024泉州模拟]如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，分别切AB，CD于点M，N，P是优弧MN上的一点，则∠MPN的度数为(　　)
A．55°
B．60°
C．72°
D．80°
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【答案】 C
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【答案】 B
6. 我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣．”也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似地计算圆的面积和周长．
如图①，若用圆的内接正六边形的面积S1来近似估计半径为1的⊙O的面积，再用如图②的圆的内接正十二边形的面积S2来近似估计半径为1的⊙O的面积，则
S2－S1＝________.(结果保留根号)
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7. [教材P66例]如图，按要求画出⊙O的内接正多边形．
【解】如图所示．
1.正多边形的概念
________相等、________也相等的多边形叫做正多边形．
2.正多边形与圆的关系
各边
各角
把圆分成n(n≥3)等份：
(1)顺次连接各等分点得到的多边形是圆的 ；
(2)依次过各等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是
这个圆的 ．
内接正n边形
外切正n边形
等分圆周作正多边形的方法：
(1)用量角器等分圆两种方法：
①依次作相等的圆心角来等分圆；
②先利用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对的弧
的等弧来画正n边形．
(2)对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规来等分圆，
如正四边形、正六边形等．
谢谢观看！

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