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26.1.2 反比例函数的图象
和性质(第1课时）
第二十六章 反比例函数
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1. 会用描点法画出反比例函数的图象 .
2. 结合图象分析并掌握反比例函数的性质.
3. 体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入新知
（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？
刘翔在2004 年雅典奥运会110 m 栏比赛中以 12.91s 的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人” .如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为 t s，平均速度为v m/s .
（1）你能写出用t 表示v 的函数表达式吗
画出反比例函数 与 的图象.
探究新知
知识点
反比例函数的图象和性质
【想一想】
用“描点法”画函数图象都有哪几步？
列表
描点
连线
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
探究新知
－ 12
12
注：x的值不能为零，但可以以零为基础，左右均匀、对称地取值.
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可
得 的图象．
探究新知
x 增大
O
－2
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
观察这两个函数图象，回答问题：
【思考】
(1) 每个函数图象分
别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，
随着x的增大，y 如何
变化？你能由它们的
解析式说明理由吗？
y
减
小
探究新知
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
O
x
y
探究新知
（1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交；
（2）在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
归纳：
探究新知
O
x
y
(1)函数 图象在第_______象限，在每个象限内， y随x的增大而 ______.
一、三
减小
(2)已知反比例函数 在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____.
m＞2
探究新知
做一做：
观
察
与
思
考
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
探究新知
回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
探究新知
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
（1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与x轴、y轴都不相交；
（2）在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳：
探究新知
y
x
O
反比例函数的图象和性质
形状
位置
增减性
图象的发展趋势
对称性
由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;
当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内;
当k>0时,在每一象限内, y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内, y随x的增大而增大.
反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴.
（1）反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数 与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.
探究新知
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，且点A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞ x2，则 y1与y2的大小关系为 （　　）
解析：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.
探究新知
考点 1
利用反比例函数的性质比较大小
已知点 A（－3，a），B（－2，b），在双曲线 ，则 a___b(填>、=或<).
>
巩固练习
已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数 （k≠0) 的图象上,则下列结论中正确的是(　　)
A.y1>y2>y3　　B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
B
已知反比例函数 ，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
探究新知
考点 2
利用反比例函数的图象和性质求字母的值
已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得m=3.
巩固练习
D
返回
1．
A.图象经过点(－3，2)
B.图象分别位于第二、四象限
C.在每个象限内，y的值随x的值增大而增大
D.x≥－1时，y≥6
返回
B
2．
A.(1，10) B．(－2，5) C．(2，5) D．(2，8)
3．
【点拨】
【答案】C
返回
4．
科技承载梦想，创新始于少年．某校科技社团的学生们制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力F(N)是其速度v(m·s－1)的反比例函数，其图象如图所示，下列说法不正确的是(　　)
【点拨】
【答案】B
A.根据图象可知，F·v是定值，F随v的增大而减小，选项正确，不符合题意；B．当F＞10 N时，v＜2 m·s－1，选项错误，符合题意；
返回
5．
返回
0
【点拨】
6．
－5
(答案不唯一)
【点拨】
返回
解析式
图象
所在 象限
渐进性
k>0，一、三象限
双曲线
k﹤0，二、四象限
x
y
o
x
y
o
当k>0时,在每一象限
内, y随x的增大而减小
当k﹤0时,在每一象限
内, y随x的增大而增大
增减性
双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点
对称性
既是轴对称图形也是中心对称图形
与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称
课堂小结
或
或
谢谢观看！

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